Composición de exponencial y logaritmo

Sean $f(x) = e^{x}$ y $g(x) = \ln(x + 1)$ . Halla $f \circ g$ y $g \circ f$ con sus dominios.

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$(f \circ g)(x) = e^{\ln(x + 1)}$ . Se necesita $x \in \operatorname{Dom} g$ : $x + 1 > 0$ , es decir, $x > -1$ . Como $f$ está definida en todo $\mathbb{R}$ , no hay más restricciones.
Como $e^{\ln u} = u$ para $u > 0$ : $(f \circ g)(x) = x + 1$ para $x > -1$ .
$(g \circ f)(x) = \ln(e^{x} + 1)$ . Se necesita $e^{x} + 1 > 0$ , lo que se cumple para todo $x$ porque $e^{x} > 0$ .
Por lo tanto $\operatorname{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R}$ .

Resultado final: $(f \circ g)(x) = x + 1$ con dominio $(-1, \infty)$ ; $(g \circ f)(x) = \ln(e^{x} + 1)$ con dominio $\mathbb{R}$ .