1.6 Composición de funciones

1. La composición no es conmutativa

   Tema

   1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Definición (f ∘ g)(x) = f(g(x))

   Sean $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$. Halla $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$ y compáralas.

   Ver solución

   1. Por definición, $(f \circ g)(x) = f(g(x))$: primero se aplica $g$ y luego $f$.
   2. $(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$.
   3. $(g \circ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
   4. Las expresiones son distintas; por ejemplo, en $x = 1$: $(f \circ g)(1) = 3$ y $(g \circ f)(1) = 9$. En general $f \circ g \neq g \circ f$.

   Resultado final: $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 1$ y $(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x + 1$; son distintas.

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2. Evaluación de una composición en un punto

   Tema

   1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Evaluación de adentro hacia afuera

   Sean $f(x) = \sqrt{x + 7}$ y $g(x) = x^2 - 1$. Calcula $(f \circ g)(3)$ y $(g \circ f)(2)$.

   Ver solución

   1. $(f \circ g)(3) = f(g(3))$. Primero $g(3) = 9 - 1 = 8$, y luego $f(8) = \sqrt{15}$.
   2. $(g \circ f)(2) = g(f(2))$. Primero $f(2) = \sqrt{9} = 3$, y luego $g(3) = 9 - 1 = 8$.

   Resultado final: $(f \circ g)(3) = \sqrt{15}$ y $(g \circ f)(2) = 8$

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3. Composición de funciones racionales

   Tema

   1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Composición y dominio de la compuesta

   Sean $f(x) = \dfrac{1}{x}$ y $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$. Halla $(f \circ g)(x)$ y su dominio.

   Ver solución

   1. $\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom} g : g(x) \in \operatorname{Dom} f\}$.
   2. $\operatorname{Dom} g = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ y $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Como $g(x) = \frac{1}{x - 2}$ nunca vale $0$, la segunda condición no quita puntos.
   3. Componemos: $(f \circ g)(x) = f\left(\frac{1}{x - 2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} = x - 2$.
   4. Aunque la expresión final sea $x - 2$, el dominio sigue excluyendo $x = 2$, donde $g$ no está definida.

   Resultado final: $(f \circ g)(x) = x - 2$, con dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

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4. Composición con radicales en ambos órdenes

   Tema

   1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Composición y dominio de la compuesta

   Sean $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = 4 - x^2$. Halla $f \circ g$ y $g \circ f$ con sus dominios.

   Ver solución

   1. $(f \circ g)(x) = \sqrt{4 - x^2}$. Se necesita $x \in \operatorname{Dom} g = \mathbb{R}$ y $g(x) \ge 0$: $4 - x^2 \ge 0$, es decir, $-2 \le x \le 2$.
   2. $(g \circ f)(x) = g(\sqrt{x}) = 4 - (\sqrt{x})^2$. Se necesita $x \in \operatorname{Dom} f = [0, \infty)$.
   3. Para $x \ge 0$ se cumple $(\sqrt{x})^2 = x$, así que $(g \circ f)(x) = 4 - x$.
   4. Aunque $4 - x$ esté definida para todo real, el dominio de $g \circ f$ es $[0, \infty)$, heredado de $f$.

   Resultado final: $(f \circ g)(x) = \sqrt{4 - x^2}$ con dominio $[-2, 2]$; $(g \circ f)(x) = 4 - x$ con dominio $[0, \infty)$.

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5. Composición de exponencial y logaritmo

   Tema

   1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Propiedades e^(ln u) = u y dominio de la compuesta

   Sean $f(x) = e^{x}$ y $g(x) = \ln(x + 1)$. Halla $f \circ g$ y $g \circ f$ con sus dominios.

   Ver solución

   1. $(f \circ g)(x) = e^{\ln(x + 1)}$. Se necesita $x \in \operatorname{Dom} g$: $x + 1 > 0$, es decir, $x > -1$. Como $f$ está definida en todo $\mathbb{R}$, no hay más restricciones.
   2. Como $e^{\ln u} = u$ para $u > 0$: $(f \circ g)(x) = x + 1$ para $x > -1$.
   3. $(g \circ f)(x) = \ln(e^{x} + 1)$. Se necesita $e^{x} + 1 > 0$, lo que se cumple para todo $x$ porque $e^{x} > 0$.
   4. Por lo tanto $\operatorname{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R}$.

   Resultado final: $(f \circ g)(x) = x + 1$ con dominio $(-1, \infty)$; $(g \circ f)(x) = \ln(e^{x} + 1)$ con dominio $\mathbb{R}$.

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6. Composición con una función trigonométrica

   Tema

   1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Composición e identidad del seno de una suma

   Sean $f(x) = \operatorname{sen} x$ y $g(x) = 2x + \pi$. Halla $(f \circ g)(x)$ y simplifícala.

   Ver solución

   1. $(f \circ g)(x) = f(2x + \pi) = \operatorname{sen}(2x + \pi)$.
   2. Por la fórmula del seno de una suma: $\operatorname{sen}(2x + \pi) = \operatorname{sen}(2x)\cos\pi + \cos(2x)\operatorname{sen}\pi$.
   3. Como $\cos\pi = -1$ y $\operatorname{sen}\pi = 0$: $\operatorname{sen}(2x + \pi) = -\operatorname{sen}(2x)$.
   4. El dominio es $\mathbb{R}$.

   Resultado final: $(f \circ g)(x) = -\operatorname{sen}(2x)$

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7. Dominio de una compuesta que exige una inecuación racional

   Tema

   1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Condición g(x) ∈ Dom f e inecuación racional

   Sean $f(x) = \sqrt{x - 1}$ y $g(x) = \dfrac{1}{x - 3}$. Halla el dominio de $f \circ g$.

   Ver solución

   1. $(f \circ g)(x) = \sqrt{\frac{1}{x - 3} - 1}$. Se necesita $x \neq 3$ (dominio de $g$) y $g(x) \ge 1$ (dominio de $f$).
   2. Resolvemos $\frac{1}{x - 3} - 1 \ge 0$ escribiéndolo con un solo denominador: $\frac{1 - (x - 3)}{x - 3} = \frac{4 - x}{x - 3} \ge 0$.
   3. Puntos críticos: $x = 4$ (anula el numerador) y $x = 3$ (anula el denominador; se excluye).
   4. Signo del cociente: si $x < 3$, numerador positivo y denominador negativo, cociente negativo; si $3 < x < 4$, ambos positivos, cociente positivo; si $x > 4$, numerador negativo y denominador positivo, cociente negativo. En $x = 4$ vale $0$ y se incluye.
   5. La solución es $3 < x \le 4$. No se puede multiplicar directamente por $x - 3$, porque su signo cambia.

   Resultado final: $\operatorname{Dom}(f \circ g) = (3, 4]$

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8. Composición de tres funciones

   Tema

   1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Composición de adentro hacia afuera

   Sean $f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$ y $h(x) = \sqrt{x}$. Halla $(f \circ g \circ h)(x)$, su dominio y su valor en $x = 4$.

   Ver solución

   1. $(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$: primero se aplica $h$, luego $g$ y al final $f$.
   2. $h(x) = \sqrt{x}$; $g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 1$; $f(\sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x} + 1)^2$.
   3. Dominio: $h$ exige $x \ge 0$; $g$ y $f$ están definidas en todo $\mathbb{R}$. Entonces el dominio es $[0, \infty)$.
   4. En $x = 4$: $(\sqrt{4} + 1)^2 = (2 + 1)^2 = 9$.

   Resultado final: $(f \circ g \circ h)(x) = (\sqrt{x} + 1)^2$, con dominio $[0, \infty)$ y valor $9$ en $x = 4$.

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9. Descomposición de una función como compuesta

   Tema

   1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Identificación de la función interior y la exterior

   Expresa cada función como una composición $f \circ g$ de dos funciones más simples:

   $$H(x) = \sqrt{3x^2 + 1}, \qquad K(x) = e^{\cos x}$$

   Ver solución

   1. Se identifica la operación que se hace primero (función interior $g$) y la que se hace al final (función exterior $f$).
   2. En $H$: primero se calcula $3x^2 + 1$ y luego se saca la raíz. Tomamos $g(x) = 3x^2 + 1$ y $f(u) = \sqrt{u}$. Comprobación: $f(g(x)) = \sqrt{3x^2 + 1}$.
   3. En $K$: primero se calcula $\cos x$ y luego la exponencial. Tomamos $g(x) = \cos x$ y $f(u) = e^{u}$. Comprobación: $f(g(x)) = e^{\cos x}$.
   4. La descomposición no es única, pero esta es la más natural y es la que se usa con la regla de la cadena.

   Resultado final: $H = f \circ g$ con $g(x) = 3x^2 + 1$, $f(u) = \sqrt{u}$; $K = f \circ g$ con $g(x) = \cos x$, $f(u) = e^{u}$.

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10. Hallar la función interior de una composición

    Tema

    1. Funciones › 1.6 Composición de funciones

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Igualación de expresiones y despeje

    Si $f(x) = 2x + 3$ y $(f \circ g)(x) = 6x^2 - 1$, halla $g(x)$.

    Ver solución

    1. Por definición, $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) + 3$.
    2. Igualamos con la expresión dada: $2g(x) + 3 = 6x^2 - 1$.
    3. Despejamos: $2g(x) = 6x^2 - 4$, de donde $g(x) = 3x^2 - 2$.
    4. Comprobación: $f(3x^2 - 2) = 2(3x^2 - 2) + 3 = 6x^2 - 1$.

    Resultado final: $g(x) = 3x^2 - 2$

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