Inversa de una función con exponenciales

Halla la inversa de

f(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}

Ver solución

Escribimos $y = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ y hacemos $u = e^{x} > 0$ , con lo que $e^{-x} = \frac{1}{u}$ : $2y = u - \frac{1}{u}$ .
Multiplicamos por $u > 0$ : $2yu = u^2 - 1$ , es decir, $u^2 - 2yu - 1 = 0$ , una cuadrática en $u$ .
Por la fórmula cuadrática: $u = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 + 4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$ .
Como $\sqrt{y^2 + 1} > \sqrt{y^2} = |y| \ge y$ , la opción con signo menos es negativa. Como $u = e^{x} > 0$ , solo vale $u = y + \sqrt{y^2 + 1}$ , que siempre es positiva.
Entonces $e^{x} = y + \sqrt{y^2 + 1}$ , de donde $x = \ln\left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right)$ , para todo $y \in \mathbb{R}$ . Intercambiando variables se obtiene $f^{-1}$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ , con dominio $\mathbb{R}$ .