1.7 Funciones inversas: ejercicios resueltos

Inversa de una función lineal

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Básico
Método: Intercambio de variables y despeje

Halla la inversa de $f(x) = 3x - 5$ y verifícala.

Ver solución

$f$ es inyectiva: si $3a - 5 = 3b - 5$ , entonces $a = b$ . Por eso tiene inversa.
Escribimos $y = 3x - 5$ y despejamos $x$ : $x = \frac{y + 5}{3}$ .
Intercambiamos los nombres de las variables: $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$ .
Verificación: $f\left(f^{-1}(x)\right) = 3 \cdot \frac{x + 5}{3} - 5 = x$ y $f^{-1}(f(x)) = \frac{(3x - 5) + 5}{3} = x$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 5}{3}$

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Verificar que dos funciones son inversas

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Básico
Método: Verificación mediante composición

Verifica si $f(x) = \dfrac{x - 1}{2}$ y $g(x) = 2x + 1$ son inversas una de la otra.

Ver solución

$f$ y $g$ son inversas si $f(g(x)) = x$ para todo $x \in \operatorname{Dom} g$ y $g(f(x)) = x$ para todo $x \in \operatorname{Dom} f$ . Aquí ambos dominios son $\mathbb{R}$ .
$f(g(x)) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = \frac{2x}{2} = x$ .
$g(f(x)) = 2 \cdot \frac{x - 1}{2} + 1 = (x - 1) + 1 = x$ .
Se cumplen las dos composiciones. Hay que verificar ambas: en general, una sola no basta.

Resultado final: Sí, $f$ y $g$ son inversas: $f(g(x)) = g(f(x)) = x$ .

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Inversa de una función racional

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Intermedio
Método: Despeje algebraico e intercambio de dominio y rango

Halla la inversa de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ e indica su dominio y su rango.

Ver solución

Escribimos $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ con $x \neq 3$ . Multiplicamos: $y(x - 3) = 2x + 1$ , es decir, $yx - 2x = 3y + 1$ .
Factorizamos $x$ : $x(y - 2) = 3y + 1$ . Para $y \neq 2$ : $x = \frac{3y + 1}{y - 2}$ .
Como a cada $y \neq 2$ le corresponde un único $x$ , $f$ es inyectiva y su rango es $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
Intercambiamos variables: $f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ .
El dominio de la inversa es el rango de $f$ , $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ , y su rango es el dominio de $f$ , $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$ , con dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y rango $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

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Inversa de una cuadrática con dominio restringido

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Intermedio
Método: Completación de cuadrados y elección de la raíz según el dominio

Sea $f(x) = x^2 - 4x + 1$ con dominio $[2, \infty)$ . Halla $f^{-1}$ , su dominio y su rango.

Ver solución

Completamos cuadrados: $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ . En $[2, \infty)$ la función es creciente y, por tanto, inyectiva. Su rango es $[-3, \infty)$ .
Despejamos: $y = (x - 2)^2 - 3$ , es decir, $(x - 2)^2 = y + 3$ , de donde $x - 2 = \pm\sqrt{y + 3}$ .
Como $x \ge 2$ , se cumple $x - 2 \ge 0$ , y se toma la raíz positiva: $x = 2 + \sqrt{y + 3}$ .
Intercambiamos variables: $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x + 3}$ . Su dominio es el rango de $f$ , $[-3, \infty)$ , y su rango es el dominio de $f$ , $[2, \infty)$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x + 3}$ , con dominio $[-3, \infty)$ y rango $[2, \infty)$ .

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Inversa de una función exponencial

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Intermedio
Método: Despeje con logaritmos

Halla la inversa de $f(x) = e^{2x} - 1$ e indica su dominio.

Ver solución

$f$ es creciente (y por tanto inyectiva), y su rango es $(-1, \infty)$ , porque $e^{2x} > 0$ toma todos los valores positivos.
Despejamos: $y = e^{2x} - 1$ , es decir, $e^{2x} = y + 1$ , que requiere $y + 1 > 0$ .
Aplicamos logaritmo natural: $2x = \ln(y + 1)$ , de donde $x = \frac{1}{2}\ln(y + 1)$ .
Intercambiamos variables: $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\ln(x + 1)$ , con dominio $(-1, \infty)$ , que es el rango de $f$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x + 1)$ , con dominio $(-1, \infty)$ .

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Inversa de una función logarítmica

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Básico
Método: Despeje con la exponencial

Halla la inversa de $f(x) = \ln(x - 2) + 3$ , con dominio $(2, \infty)$ .

Ver solución

$f$ es creciente en $(2, \infty)$ , así que es inyectiva. Su rango es $\mathbb{R}$ , porque el logaritmo toma todos los valores reales.
Despejamos: $y = \ln(x - 2) + 3$ , es decir, $\ln(x - 2) = y - 3$ .
Aplicamos la exponencial: $x - 2 = e^{y - 3}$ , de donde $x = e^{y - 3} + 2$ .
Intercambiamos variables: $f^{-1}(x) = e^{x - 3} + 2$ , con dominio $\mathbb{R}$ y rango $(2, \infty)$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = e^{x - 3} + 2$

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Prueba de la recta horizontal y restricción del dominio

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Básico
Método: Prueba de la recta horizontal

¿Tiene inversa $f(x) = x^2$ con dominio $\mathbb{R}$ ? Si no, restringe su dominio para que la tenga y halla la inversa.

Ver solución

Prueba de la recta horizontal: $f$ tiene inversa si y solo si toda recta horizontal corta su gráfica a lo sumo una vez (es decir, si $f$ es inyectiva).
La recta $y = 4$ corta la parábola en $(-2, 4)$ y $(2, 4)$ : $f(-2) = f(2)$ con $-2 \neq 2$ . No es inyectiva en $\mathbb{R}$ y no tiene inversa.
Si restringimos a $[0, \infty)$ , la función es creciente y por tanto inyectiva.
Allí, $y = x^2$ con $x \ge 0$ da $x = \sqrt{y}$ . La inversa es $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ , con dominio $[0, \infty)$ .

Resultado final: En $\mathbb{R}$ no tiene inversa; restringida a $[0, \infty)$ , su inversa es $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ .

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Dominio y rango de la inversa de una función radical

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Intermedio
Método: Intercambio de dominio y rango

Sea $f(x) = \sqrt{x - 1} + 2$ . Halla $f^{-1}$ con su dominio y su rango.

Ver solución

$\operatorname{Dom} f = [1, \infty)$ . Como $\sqrt{x - 1} \ge 0$ toma todos los valores no negativos, $\operatorname{Ran} f = [2, \infty)$ . $f$ es creciente, así que es inyectiva.
Despejamos: $y - 2 = \sqrt{x - 1}$ , con $y \ge 2$ . Elevamos al cuadrado: $(y - 2)^2 = x - 1$ , de donde $x = (y - 2)^2 + 1$ .
Intercambiamos variables: $f^{-1}(x) = (x - 2)^2 + 1$ .
El dominio de $f^{-1}$ es $\operatorname{Ran} f = [2, \infty)$ , no todo $\mathbb{R}$ , aunque la fórmula esté definida en todo $\mathbb{R}$ . Su rango es $\operatorname{Dom} f = [1, \infty)$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = (x - 2)^2 + 1$ , con dominio $[2, \infty)$ y rango $[1, \infty)$ .

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Inversa de una función cúbica

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Básico
Método: Inyectividad algebraica y raíz cúbica

Demuestra que $f(x) = x^3 + 1$ es inyectiva y halla su inversa.

Ver solución

Inyectividad: si $f(a) = f(b)$ , entonces $a^3 + 1 = b^3 + 1$ , es decir, $a^3 = b^3$ . Como la raíz cúbica es única en $\mathbb{R}$ , $a = b$ .
Despejamos: $y = x^3 + 1$ , es decir, $x^3 = y - 1$ , de donde $x = \sqrt[3]{y - 1}$ . Esto vale para todo $y \in \mathbb{R}$ , porque la raíz cúbica está definida en todos los reales.
Intercambiamos variables: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ , con dominio $\mathbb{R}$ .
Verificación: $f\left(\sqrt[3]{x - 1}\right) = (x - 1) + 1 = x$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$

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Inversa de una función con exponenciales

Tema: 1. Funciones › 1.7 Funciones inversas
Dificultad: Avanzado
Método: Cambio u = e^x y ecuación cuadrática

Halla la inversa de

f(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}

Ver solución

Escribimos $y = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ y hacemos $u = e^{x} > 0$ , con lo que $e^{-x} = \frac{1}{u}$ : $2y = u - \frac{1}{u}$ .
Multiplicamos por $u > 0$ : $2yu = u^2 - 1$ , es decir, $u^2 - 2yu - 1 = 0$ , una cuadrática en $u$ .
Por la fórmula cuadrática: $u = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 + 4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$ .
Como $\sqrt{y^2 + 1} > \sqrt{y^2} = |y| \ge y$ , la opción con signo menos es negativa. Como $u = e^{x} > 0$ , solo vale $u = y + \sqrt{y^2 + 1}$ , que siempre es positiva.
Entonces $e^{x} = y + \sqrt{y^2 + 1}$ , de donde $x = \ln\left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right)$ , para todo $y \in \mathbb{R}$ . Intercambiando variables se obtiene $f^{-1}$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ , con dominio $\mathbb{R}$ .

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