La sobreyectividad depende del codominio

Determina si $f(x) = x^2$ es sobreyectiva en cada caso:

a) $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

b) $f\colon \mathbb{R} \to [0, \infty)$

Ver solución

Una función es sobreyectiva si su rango coincide con su codominio.
El rango de $x^2$ con dominio $\mathbb{R}$ es $[0, \infty)$ : $x^2 \ge 0$ , y cada $y \ge 0$ se alcanza en $x = \sqrt{y}$ .
a) El codominio $\mathbb{R}$ contiene valores negativos, como $-4$ , que no se alcanzan, porque $x^2 = -4$ no tiene solución real. No es sobreyectiva.
b) El codominio $[0, \infty)$ coincide con el rango: es sobreyectiva. La misma regla puede ser sobreyectiva o no según el codominio declarado.

Resultado final: a) No es sobreyectiva. b) Sí es sobreyectiva.