1.8 Inyectividad y sobreyectividad

1. Una función lineal biyectiva

   Tema

   1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Definiciones de inyectividad y sobreyectividad

   Demuestra que $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5x - 2$, es biyectiva.

   Ver solución

   1. Inyectiva: supongamos $f(a) = f(b)$. Entonces $5a - 2 = 5b - 2$, de donde $5a = 5b$ y $a = b$.
   2. Sobreyectiva: dado cualquier $y \in \mathbb{R}$ (el codominio), buscamos $x$ con $f(x) = y$: $5x - 2 = y$, de donde $x = \frac{y + 2}{5} \in \mathbb{R}$.
   3. Comprobación: $f\left(\frac{y + 2}{5}\right) = (y + 2) - 2 = y$.
   4. Al ser inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva.

   Resultado final: $f$ es biyectiva.

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2. Mostrar que una cuadrática no es inyectiva

   Tema

   1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Contraejemplo

   Demuestra que $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2x$, no es inyectiva.

   Ver solución

   1. Para refutar la inyectividad basta un contraejemplo: dos valores distintos con la misma imagen.
   2. Buscamos los ceros: $x^2 - 2x = x(x - 2) = 0$, es decir, $x = 0$ o $x = 2$.
   3. Entonces $f(0) = 0 = f(2)$ con $0 \neq 2$.
   4. Geométricamente, la parábola es simétrica respecto de su eje $x = 1$, y la recta horizontal $y = 0$ la corta dos veces.

   Resultado final: $f$ no es inyectiva, porque $f(0) = f(2) = 0$.

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3. La sobreyectividad depende del codominio

   Tema

   1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Comparación del rango con el codominio

   Determina si $f(x) = x^2$ es sobreyectiva en cada caso:

   a) $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

   b) $f\colon \mathbb{R} \to [0, \infty)$

   Ver solución

   1. Una función es sobreyectiva si su rango coincide con su codominio.
   2. El rango de $x^2$ con dominio $\mathbb{R}$ es $[0, \infty)$: $x^2 \ge 0$, y cada $y \ge 0$ se alcanza en $x = \sqrt{y}$.
   3. a) El codominio $\mathbb{R}$ contiene valores negativos, como $-4$, que no se alcanzan, porque $x^2 = -4$ no tiene solución real. No es sobreyectiva.
   4. b) El codominio $[0, \infty)$ coincide con el rango: es sobreyectiva. La misma regla puede ser sobreyectiva o no según el codominio declarado.

   Resultado final: a) No es sobreyectiva. b) Sí es sobreyectiva.

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4. La exponencial: inyectiva pero no sobreyectiva en ℝ

   Tema

   1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Monotonía y comparación del rango con el codominio

   Clasifica $f(x) = e^{x}$ como función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, y luego como función de $\mathbb{R}$ en $(0, \infty)$.

   Ver solución

   1. Inyectividad: si $e^{a} = e^{b}$, aplicando $\ln$ se obtiene $a = b$. Es inyectiva con cualquier codominio.
   2. Como $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$: el rango es $(0, \infty)$ y, por ejemplo, $-1$ no se alcanza. No es sobreyectiva, así que tampoco es biyectiva.
   3. Como $f\colon \mathbb{R} \to (0, \infty)$: dado $y > 0$, el valor $x = \ln y$ cumple $e^{x} = y$. Es sobreyectiva.
   4. En el segundo caso es inyectiva y sobreyectiva: biyectiva, y su inversa es $\ln\colon (0, \infty) \to \mathbb{R}$.

   Resultado final: De $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$: inyectiva, no sobreyectiva. De $\mathbb{R}$ en $(0, \infty)$: biyectiva.

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5. El seno: sobreyectivo pero no inyectivo

   Tema

   1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Contraejemplo y análisis del rango

   Sea $f\colon [0, \pi] \to [0, 1]$, $f(x) = \operatorname{sen} x$. ¿Es inyectiva? ¿Es sobreyectiva? ¿Qué restricción del dominio la haría biyectiva sobre $[-1, 1]$?

   Ver solución

   1. Inyectividad: $\operatorname{sen}\frac{\pi}{6} = \operatorname{sen}\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$, con $\frac{\pi}{6} \neq \frac{5\pi}{6}$, ambos en $[0, \pi]$. No es inyectiva.
   2. Sobreyectividad: en $[0, \pi]$ el seno es no negativo y crece de $0$ a $1$ en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, así que toma todos los valores de $[0, 1]$. Es sobreyectiva sobre $[0, 1]$.
   3. En $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ el seno es creciente (inyectivo) y toma todos los valores de $[-1, 1]$.
   4. Por eso, $\operatorname{sen}\colon \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1]$ es biyectiva. Es la restricción con la que se define $\operatorname{arcsen}$.

   Resultado final: En $[0, \pi] \to [0, 1]$ es sobreyectiva pero no inyectiva; restringida a $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1]$ es biyectiva.

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6. Demostración algebraica de inyectividad de una racional

   Tema

   1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición f(a) = f(b) ⇒ a = b

   Sea $f\colon \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\}$, $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$. Demuestra que es biyectiva.

   Ver solución

   1. Inyectiva: supongamos $\frac{a + 1}{a - 2} = \frac{b + 1}{b - 2}$, con $a, b \neq 2$. Multiplicando en cruz: $(a + 1)(b - 2) = (b + 1)(a - 2)$.
   2. Desarrollamos: $ab - 2a + b - 2 = ab - 2b + a - 2$. Simplificando queda $-3a = -3b$, es decir, $a = b$.
   3. Sobreyectiva: dado $y \neq 1$, resolvemos $y = \frac{x + 1}{x - 2}$: $yx - 2y = x + 1$, de donde $x(y - 1) = 2y + 1$ y $x = \frac{2y + 1}{y - 1}$.
   4. Ese $x$ existe porque $y \neq 1$, y además $x \neq 2$: si fuera $\frac{2y + 1}{y - 1} = 2$, se tendría $2y + 1 = 2y - 2$, lo cual es imposible.
   5. Es inyectiva y sobreyectiva, así que es biyectiva.

   Resultado final: $f$ es biyectiva, con inversa $f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$.

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7. Una función que no es inyectiva ni sobreyectiva

   Tema

   1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Contraejemplos

   Demuestra que $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = |x|$, no es inyectiva ni sobreyectiva.

   Ver solución

   1. No inyectiva: $f(-3) = 3 = f(3)$, con $-3 \neq 3$.
   2. No sobreyectiva: el codominio es $\mathbb{R}$, pero $|x| \ge 0$ para todo $x$, así que ningún negativo se alcanza. Por ejemplo, $|x| = -1$ no tiene solución.
   3. Como falla en ambas propiedades, tampoco es biyectiva.

   Resultado final: $f(x) = |x|$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, no es inyectiva ni sobreyectiva.

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8. La composición de funciones inyectivas es inyectiva

   Tema

   1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Demostración directa con la definición

   Demuestra que si $g\colon A \to B$ y $f\colon B \to C$ son inyectivas, entonces $f \circ g\colon A \to C$ es inyectiva.

   Ver solución

   1. Sean $a_1, a_2 \in A$ con $(f \circ g)(a_1) = (f \circ g)(a_2)$, es decir, $f(g(a_1)) = f(g(a_2))$.
   2. Como $f$ es inyectiva, de $f(g(a_1)) = f(g(a_2))$ se deduce $g(a_1) = g(a_2)$.
   3. Como $g$ es inyectiva, de $g(a_1) = g(a_2)$ se deduce $a_1 = a_2$.
   4. Probamos que imágenes iguales por $f \circ g$ implican elementos iguales: $f \circ g$ es inyectiva.

   Resultado final: Si $f$ y $g$ son inyectivas, $f \circ g$ es inyectiva.

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9. La composición de funciones sobreyectivas es sobreyectiva

   Tema

   1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Demostración directa con la definición

   Demuestra que si $g\colon A \to B$ y $f\colon B \to C$ son sobreyectivas, entonces $f \circ g\colon A \to C$ es sobreyectiva.

   Ver solución

   1. Hay que probar que todo $c \in C$ tiene una preimagen en $A$ por $f \circ g$.
   2. Sea $c \in C$. Como $f$ es sobreyectiva, existe $b \in B$ con $f(b) = c$.
   3. Como $g$ es sobreyectiva, para ese $b$ existe $a \in A$ con $g(a) = b$.
   4. Entonces $(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(b) = c$: el elemento $a$ es preimagen de $c$.
   5. Como $c$ era arbitrario, $f \circ g$ es sobreyectiva. Junto con el resultado análogo para inyectivas, se deduce que la composición de biyecciones es biyectiva.

   Resultado final: Si $f$ y $g$ son sobreyectivas, $f \circ g$ es sobreyectiva.

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10. Restringir dominio y codominio para obtener una biyección

    Tema

    1. Funciones › 1.8 Inyectividad y sobreyectividad

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Completación de cuadrados y restricción a una rama

    Sea $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Elige un dominio que contenga a $x = 5$ y un codominio adecuados para que $f$ sea biyectiva, y justifícalo.

    Ver solución

    1. Completamos cuadrados: $f(x) = (x - 2)^2 - 1$. La parábola tiene vértice $(2, -1)$ y es simétrica respecto de $x = 2$, así que no es inyectiva en $\mathbb{R}$.
    2. Para que el dominio contenga a $x = 5$ tomamos la rama derecha, $[2, \infty)$. Allí, si $f(a) = f(b)$, entonces $(a - 2)^2 = (b - 2)^2$, y como $a - 2 \ge 0$ y $b - 2 \ge 0$, se obtiene $a - 2 = b - 2$, es decir, $a = b$. Es inyectiva.
    3. Rango en ese dominio: $(x - 2)^2 \ge 0$ toma todos los valores no negativos, así que $f(x) \ge -1$ y el rango es $[-1, \infty)$.
    4. Tomando como codominio el rango, $[-1, \infty)$, la función es sobreyectiva: dado $y \ge -1$, $x = 2 + \sqrt{y + 1}$ cumple $f(x) = y$.

    Resultado final: $f\colon [2, \infty) \to [-1, \infty)$ es biyectiva.

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