Cociente de |x| entre x: la función signo

Tema: 1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones
Dificultad: Intermedio
Método: Definición del valor absoluto por partes

Sean $f(x) = |x|$ y $g(x) = x$ . Halla $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ , su dominio y su rango.

Ver solución

$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{|x|}{x}$ , definida donde $g(x) \neq 0$ : el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ .
Si $x > 0$ : $|x| = x$ , así que $\frac{|x|}{x} = 1$ .
Si $x < 0$ : $|x| = -x$ , así que $\frac{|x|}{x} = -1$ .
Por lo tanto el cociente vale $1$ para $x > 0$ y $-1$ para $x < 0$ , y solo toma esos dos valores.

Resultado final: $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$ , con dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ y rango $\{-1, 1\}$ .