1.5 Operaciones con funciones

1. Suma de funciones y su dominio

   Tema

   1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Dom(f + g) = Dom f ∩ Dom g

   Sean $f(x) = \sqrt{x + 2}$ y $g(x) = \dfrac{1}{x - 1}$. Halla $(f + g)(x)$ y su dominio.

   Ver solución

   1. Por definición, $(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \sqrt{x + 2} + \frac{1}{x - 1}$.
   2. La suma solo está definida donde lo están ambas funciones: $\operatorname{Dom}(f + g) = \operatorname{Dom} f \cap \operatorname{Dom} g$.
   3. $\operatorname{Dom} f$: $x + 2 \ge 0$, es decir, $[-2, \infty)$. $\operatorname{Dom} g$: $x \neq 1$.
   4. Intersecamos: $[-2, \infty)$ sin el punto $1$.

   Resultado final: $(f + g)(x) = \sqrt{x + 2} + \dfrac{1}{x - 1}$, con dominio $[-2, 1) \cup (1, \infty)$.

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2. Producto de funciones: el dominio no se simplifica

   Tema

   1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Producto de funciones y dominio de la intersección

   Sean $f(x) = x^2 - 4$ y $g(x) = \dfrac{1}{x + 2}$. Halla $(f \cdot g)(x)$ simplificada y su dominio.

   Ver solución

   1. $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$.
   2. El dominio es $\operatorname{Dom} f \cap \operatorname{Dom} g = \mathbb{R} \cap \left(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\right) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
   3. Para $x \neq -2$ simplificamos: $(f \cdot g)(x) = x - 2$.
   4. La simplificación no cambia el dominio: aunque la expresión $x - 2$ esté definida en $-2$, $g(-2)$ no existe, así que $(f \cdot g)(-2)$ tampoco.

   Resultado final: $(f \cdot g)(x) = x - 2$, con dominio $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

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3. Dominio del cociente de una raíz entre un polinomio

   Tema

   1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Dom(f/g) = Dom f ∩ Dom g sin los ceros de g

   Sean $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2 - 9$. Halla $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ y su dominio.

   Ver solución

   1. $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 - 9}$.
   2. El dominio del cociente es $\operatorname{Dom} f \cap \operatorname{Dom} g$ sin los puntos donde $g(x) = 0$.
   3. $\operatorname{Dom} f = [0, \infty)$ y $\operatorname{Dom} g = \mathbb{R}$. Además $g(x) = 0$ si $x = 3$ o $x = -3$.
   4. De $[0, \infty)$ excluimos $3$ (el valor $-3$ ya no está en el intervalo).

   Resultado final: $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x^2 - 9}$, con dominio $[0, 3) \cup (3, \infty)$.

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4. Evaluación de la resta y el producto de funciones

   Tema

   1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Evaluación de cada función por separado

   Sean $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 3x - 2$. Calcula $(f - g)(2)$ y $(f \cdot g)(-1)$.

   Ver solución

   1. Por definición, $(f - g)(2) = f(2) - g(2)$ y $(f \cdot g)(-1) = f(-1) \cdot g(-1)$.
   2. $f(2) = 4 + 1 = 5$ y $g(2) = 6 - 2 = 4$, así que $(f - g)(2) = 5 - 4 = 1$.
   3. $f(-1) = 1 + 1 = 2$ y $g(-1) = -3 - 2 = -5$, así que $(f \cdot g)(-1) = 2 \cdot (-5) = -10$.

   Resultado final: $(f - g)(2) = 1$ y $(f \cdot g)(-1) = -10$

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5. Combinación de funciones con constantes

   Tema

   1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Multiplicación por constantes y resta de funciones

   Sean $f(x) = x^2 - x$ y $g(x) = x + 4$. Halla $(3f - 2g)(x)$.

   Ver solución

   1. Por definición, $(3f - 2g)(x) = 3f(x) - 2g(x)$.
   2. Sustituimos: $3(x^2 - x) - 2(x + 4)$.
   3. Distribuimos: $3x^2 - 3x - 2x - 8$.
   4. Reducimos términos semejantes: $3x^2 - 5x - 8$. El dominio es $\mathbb{R}$, porque ambas funciones son polinomios.

   Resultado final: $(3f - 2g)(x) = 3x^2 - 5x - 8$

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6. Cociente de |x| entre x: la función signo

   Tema

   1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición del valor absoluto por partes

   Sean $f(x) = |x|$ y $g(x) = x$. Halla $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$, su dominio y su rango.

   Ver solución

   1. $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{|x|}{x}$, definida donde $g(x) \neq 0$: el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
   2. Si $x > 0$: $|x| = x$, así que $\frac{|x|}{x} = 1$.
   3. Si $x < 0$: $|x| = -x$, así que $\frac{|x|}{x} = -1$.
   4. Por lo tanto el cociente vale $1$ para $x > 0$ y $-1$ para $x < 0$, y solo toma esos dos valores.

   Resultado final: $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$, con dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ y rango $\{-1, 1\}$.

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7. Dominio del cociente de dos raíces

   Tema

   1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Intersección de dominios y exclusión de ceros del denominador

   Sean $f(x) = \sqrt{4 - x}$ y $g(x) = \sqrt{x + 1}$. Halla el dominio de $\dfrac{f}{g}$.

   Ver solución

   1. $\operatorname{Dom} f$: $4 - x \ge 0$, es decir, $x \le 4$.
   2. $\operatorname{Dom} g$: $x + 1 \ge 0$, es decir, $x \ge -1$.
   3. Intersección: $[-1, 4]$.
   4. Hay que excluir los ceros de $g$: $\sqrt{x + 1} = 0$ si $x = -1$. Se quita el extremo izquierdo.

   Resultado final: $\operatorname{Dom}\left(\dfrac{f}{g}\right) = (-1, 4]$

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8. Dominio de la suma de un logaritmo y una raíz

   Tema

   1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Dom(f + g) = Dom f ∩ Dom g

   Sean $f(x) = \ln x$ y $g(x) = \sqrt{3 - x}$. Halla el dominio de $f + g$ y calcula $(f + g)(1)$.

   Ver solución

   1. $\operatorname{Dom} f$: $x > 0$, es decir, $(0, \infty)$.
   2. $\operatorname{Dom} g$: $3 - x \ge 0$, es decir, $(-\infty, 3]$.
   3. $\operatorname{Dom}(f + g) = (0, \infty) \cap (-\infty, 3] = (0, 3]$.
   4. Como $1 \in (0, 3]$: $(f + g)(1) = \ln 1 + \sqrt{2} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

   Resultado final: $\operatorname{Dom}(f + g) = (0, 3]$ y $(f + g)(1) = \sqrt{2}$

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9. Simplificación de un cociente de funciones

   Tema

   1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Factorización y conservación del dominio original

   Sean $f(x) = x^2 - x - 6$ y $g(x) = x^2 - 9$. Simplifica $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ e indica su dominio.

   Ver solución

   1. $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}$. Se excluyen los ceros de $g$: $x^2 - 9 = 0$ si $x = \pm 3$. El dominio es $\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.
   2. Factorizamos: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ y $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
   3. Para $x$ en el dominio ($x \neq 3$) cancelamos $x - 3$: $\frac{x + 2}{x + 3}$.
   4. El dominio sigue siendo $\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$: el punto $x = 3$ no se recupera al simplificar.

   Resultado final: $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{x + 2}{x + 3}$, con dominio $\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.

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10. Hallar una función a partir de una suma

    Tema

    1. Funciones › 1.5 Operaciones con funciones

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Despeje en la igualdad de funciones

    Se sabe que $(f + g)(x) = x^2 + 5x$ y que $f(x) = 2x - 1$. Halla $g(x)$ y calcula $(f \cdot g)(1)$.

    Ver solución

    1. Como $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$, despejamos: $g(x) = (f + g)(x) - f(x)$.
    2. Sustituimos: $g(x) = x^2 + 5x - (2x - 1) = x^2 + 3x + 1$.
    3. Evaluamos en $1$: $f(1) = 2 - 1 = 1$ y $g(1) = 1 + 3 + 1 = 5$.
    4. Entonces $(f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) = 1 \cdot 5 = 5$.

    Resultado final: $g(x) = x^2 + 3x + 1$ y $(f \cdot g)(1) = 5$

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