Modelación: volumen de una caja abierta

Tema: 1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones
Dificultad: Intermedio
Método: Modelación geométrica y dominio con sentido físico

De una lámina cuadrada de $20$ cm de lado se recortan cuadrados de lado $x$ en las cuatro esquinas y se doblan los bordes para formar una caja sin tapa. Expresa el volumen $V$ en función de $x$ , con su dominio, y calcula $V(2)$ .

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Al recortar $x$ en cada esquina, la base queda de lado $20 - 2x$ y la altura de la caja es $x$ .
Volumen = área de la base × altura: $V(x) = x(20 - 2x)^2$ .
Dominio con sentido físico: la altura debe ser positiva ( $x > 0$ ) y el lado de la base también ( $20 - 2x > 0$ , es decir, $x < 10$ ). Entonces $0 < x < 10$ .
$V(2) = 2(20 - 4)^2 = 2 \cdot 256 = 512$ cm³.

Resultado final: $V(x) = x(20 - 2x)^2$ , con dominio $(0, 10)$ ; $V(2) = 512$ cm³.