1.10 Otras propiedades de las funciones

1. Una tarifa modelada con una función por partes

   Tema

   1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Construcción y evaluación de una función por partes

   Un estacionamiento cobra S/ 2 por las primeras 3 horas (o fracción) y S/ 0.50 por cada hora adicional, cobrada de forma proporcional. Escribe el costo $C(t)$ para $t > 0$ horas y calcula $C(2)$ y $C(5)$.

   Ver solución

   1. Hay dos regímenes: hasta $3$ horas el costo es fijo; después se suma $0.50$ por cada hora que excede de $3$.
   2. Para $0 < t \le 3$: $C(t) = 2$. Para $t > 3$: las horas adicionales son $t - 3$, así que $C(t) = 2 + 0.5(t - 3)$.
   3. $C(2)$: como $2 \le 3$, $C(2) = 2$.
   4. $C(5)$: como $5 > 3$, $C(5) = 2 + 0.5(2) = 3$.

   Resultado final: $C(t) = \begin{cases} 2, & 0 < t \le 3 \\ 2 + 0.5(t - 3), & t > 3 \end{cases}$; $C(2) = 2$ y $C(5) = 3$ soles.

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2. Período fundamental de un coseno

   Tema

   1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Período de cos(bx) = 2π/|b|

   Halla el período fundamental de

   $$f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{3}\right)$$

   Ver solución

   1. El coseno tiene período fundamental $2\pi$. Para $\cos(bx)$ con $b \neq 0$, el período fundamental es $\frac{2\pi}{|b|}$.
   2. Aquí $b = \frac{\pi}{3}$, así que $T = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$.
   3. Verificación: $f(x + 6) = \cos\left(\frac{\pi x}{3} + 2\pi\right) = \cos\left(\frac{\pi x}{3}\right) = f(x)$.

   Resultado final: El período fundamental es $T = 6$.

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3. La parte fraccionaria es periódica de período 1

   Tema

   1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición de función periódica y de período fundamental

   Sea $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$. Demuestra que $f$ es periódica y que su período fundamental es $1$.

   Ver solución

   1. Para todo $x$, si $n = \lfloor x \rfloor$, entonces $n \le x < n + 1$, y sumando $1$, $n + 1 \le x + 1 < n + 2$. Por lo tanto $\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$.
   2. Entonces $f(x + 1) = (x + 1) - \lfloor x + 1 \rfloor = x + 1 - \lfloor x \rfloor - 1 = f(x)$: $f$ es periódica con período $1$.
   3. Para ver que es el período fundamental, supongamos que hubiera un período $T$ con $0 < T < 1$. Entonces $f(0 + T) = f(0) = 0$.
   4. Pero $\lfloor T \rfloor = 0$, así que $f(T) = T - 0 = T \neq 0$. Es una contradicción, y no hay períodos menores que $1$.

   Resultado final: $f$ es periódica y su período fundamental es $1$.

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4. Simetría respecto del eje y y del origen

   Tema

   1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Criterios f(−x) = f(x) y f(−x) = −f(x)

   Determina el tipo de simetría de las gráficas de

   $$f(x) = \frac{x^2}{x^4 + 1}, \qquad g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4}$$

   Ver solución

   1. Una gráfica es simétrica respecto del eje $y$ si la función es par, y respecto del origen si es impar. Los dominios ($\mathbb{R}$ en ambos casos) son simétricos.
   2. $f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^4 + 1} = \frac{x^2}{x^4 + 1} = f(x)$: $f$ es par, y su gráfica es simétrica respecto del eje $y$.
   3. $g(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 + 4} = \frac{-x^3}{x^2 + 4} = -g(x)$: $g$ es impar, y su gráfica es simétrica respecto del origen.

   Resultado final: La gráfica de $f$ es simétrica respecto del eje $y$; la de $g$, respecto del origen.

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5. Simetría y expresión por partes de x|x|

   Tema

   1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición del valor absoluto y criterio de imparidad

   Sea $f(x) = x|x|$. Escríbela por partes y determina su simetría.

   Ver solución

   1. Si $x \ge 0$: $|x| = x$, así que $f(x) = x^2$. Si $x < 0$: $|x| = -x$, así que $f(x) = -x^2$.
   2. La gráfica es la mitad derecha de la parábola $y = x^2$ y la mitad izquierda de $y = -x^2$.
   3. Simetría: $f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x)$, porque $|-x| = |x|$. La función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen.

   Resultado final: $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$; es impar (simétrica respecto del origen).

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6. Cotas superior e inferior de una función racional

   Tema

   1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Desigualdad x² + 1 ≥ 2|x|

   Demuestra que $f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 1}$ está acotada y halla sus valores máximo y mínimo.

   Ver solución

   1. Para todo $x$: $(|x| - 1)^2 \ge 0$, es decir, $x^2 - 2|x| + 1 \ge 0$, o sea $x^2 + 1 \ge 2|x|$.
   2. Como $x^2 + 1 > 0$: $|f(x)| = \frac{3|x|}{x^2 + 1} \le \frac{3|x|}{2|x|} = \frac{3}{2}$ para $x \neq 0$. Para $x = 0$, $f(0) = 0$.
   3. Por lo tanto $-\frac{3}{2} \le f(x) \le \frac{3}{2}$ para todo $x$: $f$ está acotada.
   4. La igualdad del paso 1 ocurre cuando $|x| = 1$: $f(1) = \frac{3}{2}$ y $f(-1) = -\frac{3}{2}$. Esos son el máximo y el mínimo.

   Resultado final: $-\dfrac{3}{2} \le f(x) \le \dfrac{3}{2}$; máximo $\dfrac{3}{2}$ en $x = 1$ y mínimo $-\dfrac{3}{2}$ en $x = -1$.

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7. Máximo y mínimo absolutos de una cuadrática en un intervalo

   Tema

   1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Completación de cuadrados y acotación de |x − h|

   Halla el máximo y el mínimo absolutos de $f(x) = x^2 - 4x + 1$ en el intervalo $[0, 5]$.

   Ver solución

   1. Completamos cuadrados: $f(x) = (x - 2)^2 - 3$.
   2. Para $x \in [0, 5]$: $-2 \le x - 2 \le 3$, así que $0 \le (x - 2)^2 \le 9$. El valor $0$ se alcanza en $x = 2$ y el valor $9$ en $x = 5$.
   3. Entonces $-3 \le f(x) \le 6$ en $[0, 5]$.
   4. El mínimo absoluto es $f(2) = -3$, en el vértice. El máximo absoluto es $f(5) = 25 - 20 + 1 = 6$, en el extremo más alejado del vértice; en el otro extremo, $f(0) = 1 < 6$.

   Resultado final: Mínimo absoluto $-3$ en $x = 2$; máximo absoluto $6$ en $x = 5$.

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8. Variación directa

   Tema

   1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Modelo y = kx

   El pago $y$ (en soles) de un trabajador por horas varía directamente con el número de horas $x$ trabajadas. Si por $4$ horas recibe S/ 12, ¿cuánto recibe por $7$ horas?

   Ver solución

   1. Variación directa significa $y = kx$, con $k$ constante (la constante de proporcionalidad).
   2. Con $x = 4$ e $y = 12$: $12 = 4k$, de donde $k = 3$ (soles por hora).
   3. El modelo es $y = 3x$.
   4. Para $x = 7$: $y = 3 \cdot 7 = 21$.

   Resultado final: $y = 3x$; por $7$ horas recibe S/ 21.

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9. Variación inversa: presión y volumen de un gas

   Tema

   1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Modelo P = k / V

   A temperatura constante, la presión $P$ de un gas es inversamente proporcional a su volumen $V$. Si $P = 200$ kPa cuando $V = 3$ L, halla $P$ cuando $V = 5$ L.

   Ver solución

   1. Variación inversa significa $P = \frac{k}{V}$, es decir, $PV = k$ constante.
   2. Con los datos: $k = 200 \cdot 3 = 600$ (kPa·L).
   3. El modelo es $P(V) = \frac{600}{V}$, con $V > 0$.
   4. Para $V = 5$: $P = \frac{600}{5} = 120$. Al aumentar el volumen, la presión disminuye.

   Resultado final: $P(V) = \dfrac{600}{V}$; con $V = 5$ L la presión es $120$ kPa.

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10. Modelación: volumen de una caja abierta

    Tema

    1. Funciones › 1.10 Otras propiedades de las funciones

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Modelación geométrica y dominio con sentido físico

    De una lámina cuadrada de $20$ cm de lado se recortan cuadrados de lado $x$ en las cuatro esquinas y se doblan los bordes para formar una caja sin tapa. Expresa el volumen $V$ en función de $x$, con su dominio, y calcula $V(2)$.

    Ver solución

    1. Al recortar $x$ en cada esquina, la base queda de lado $20 - 2x$ y la altura de la caja es $x$.
    2. Volumen = área de la base × altura: $V(x) = x(20 - 2x)^2$.
    3. Dominio con sentido físico: la altura debe ser positiva ($x > 0$) y el lado de la base también ($20 - 2x > 0$, es decir, $x < 10$). Entonces $0 < x < 10$.
    4. $V(2) = 2(20 - 4)^2 = 2 \cdot 256 = 512$ cm³.

    Resultado final: $V(x) = x(20 - 2x)^2$, con dominio $(0, 10)$; $V(2) = 512$ cm³.

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