Simetría y expresión por partes de x|x|

1. Si $x \ge 0$: $|x| = x$, así que $f(x) = x^2$. Si $x < 0$: $|x| = -x$, así que $f(x) = -x^2$.
2. La gráfica es la mitad derecha de la parábola $y = x^2$ y la mitad izquierda de $y = -x^2$.
3. Simetría: $f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x)$, porque $|-x| = |x|$. La función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen.

Resultado final: $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$; es impar (simétrica respecto del origen).