Saltar al contenido
Ejercicios de Cálculo
← 6.7 Fracciones parciales

Integral definida con fracciones parciales

Tema
6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
Dificultad
Intermedio
Método
Descomposición y regla de Barrow

Calcula ∫23dxx2−x\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{dx}{x^2 - x}.

Ver solución
  1. x2−x=x(x−1)x^2 - x = x(x - 1), y 1x(x−1)=Ax+Bx−1\frac{1}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} con 1=A(x−1)+Bx1 = A(x - 1) + Bx. Con x=0x = 0: A=−1A = -1; con x=1x = 1: B=1B = 1.
  2. Primitiva: ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x∣=ln⁡∣x−1x∣\ln|x - 1| - \ln|x| = \ln\left|\frac{x - 1}{x}\right|, válida en [2,3][2, 3], donde el integrando es continuo.
  3. [ln⁡x−1x]23=ln⁡23−ln⁡12=ln⁡43\left[\ln\frac{x - 1}{x}\right]_{2}^{3} = \ln\frac{2}{3} - \ln\frac{1}{2} = \ln\frac{4}{3}.

Resultado final: ∫23dxx2−x=ln⁡43\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{dx}{x^2 - x} = \ln\frac{4}{3}