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Ejercicios de Cálculo
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6.7 Fracciones parciales

Contenidos de esta sección

  1. Fracciones parciales con factores lineales

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Avanzado
    Método
    Fracciones parciales con factores lineales distintos

    Calcula la siguiente integral indefinida:

    ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx
    Ver solución
    1. Factorizamos el denominador: x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Descomponemos en fracciones parciales: 1(x−1)(x+1)=Ax−1+Bx+1\frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}.
    2. Multiplicamos por (x−1)(x+1)(x - 1)(x + 1): 1=A(x+1)+B(x−1)1 = A(x + 1) + B(x - 1).
    3. Con x=1x = 1: 1=2A1 = 2A, así que A=12A = \frac{1}{2}. Con x=−1x = -1: 1=−2B1 = -2B, así que B=−12B = -\frac{1}{2}.
    4. Integramos cada término, usando ∫duu=ln⁡∣u∣+C\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C: 12ln⁡∣x−1∣−12ln⁡∣x+1∣+C\frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C.
    5. Por las propiedades del logaritmo: 12ln⁡∣x−1x+1∣+C\frac{1}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C.

    Resultado final: ∫1x2−1 dx=12ln⁡∣x−1x+1∣+C\displaystyle \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C

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  2. Fracciones parciales con dos factores lineales

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Básico
    Método
    Descomposición A/(x − a) + B/(x − b) por valores convenientes

    Calcula ∫5x−1(x+1)(x−2) dx\displaystyle \int \frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)}\,dx.

    Ver solución
    1. La fracción es propia (grado 1<21 < 2). Planteamos 5x−1(x+1)(x−2)=Ax+1+Bx−2\frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}, es decir, 5x−1=A(x−2)+B(x+1)5x - 1 = A(x - 2) + B(x + 1).
    2. Con x=2x = 2: 9=3B9 = 3B, de donde B=3B = 3. Con x=−1x = -1: −6=−3A-6 = -3A, de donde A=2A = 2.
    3. ∫(2x+1+3x−2)dx=2ln⁡∣x+1∣+3ln⁡∣x−2∣+C\int\left(\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 2}\right)dx = 2\ln|x + 1| + 3\ln|x - 2| + C.

    Resultado final: ∫5x−1(x+1)(x−2) dx=2ln⁡∣x+1∣+3ln⁡∣x−2∣+C\displaystyle \int \frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)}\,dx = 2\ln|x + 1| + 3\ln|x - 2| + C

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  3. Fracciones parciales con tres factores lineales

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Factorización del denominador y valores convenientes

    Calcula ∫x2+2x−1x3−x dx\displaystyle \int \frac{x^2 + 2x - 1}{x^3 - x}\,dx.

    Ver solución
    1. Factorizamos: x3−x=x(x−1)(x+1)x^3 - x = x(x - 1)(x + 1). Planteamos Ax+Bx−1+Cx+1\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}, es decir, x2+2x−1=A(x−1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−1)x^2 + 2x - 1 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1).
    2. Con x=0x = 0: −1=−A-1 = -A, de donde A=1A = 1. Con x=1x = 1: 2=2B2 = 2B, de donde B=1B = 1. Con x=−1x = -1: −2=2C-2 = 2C, de donde C=−1C = -1.
    3. ∫(1x+1x−1−1x+1)dx=ln⁡∣x∣+ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+1∣+C\int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)dx = \ln|x| + \ln|x - 1| - \ln|x + 1| + C.
    4. Se puede escribir como ln⁡∣x(x−1)x+1∣+C\ln\left|\frac{x(x - 1)}{x + 1}\right| + C.

    Resultado final: ln⁡∣x∣+ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+1∣+C=ln⁡∣x(x−1)x+1∣+C\ln|x| + \ln|x - 1| - \ln|x + 1| + C = \ln\left|\dfrac{x(x - 1)}{x + 1}\right| + C

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  4. Fracciones parciales con un factor lineal repetido

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Descomposición A/(x − 1) + B/(x − 1)²

    Calcula ∫x+3(x−1)2 dx\displaystyle \int \frac{x + 3}{(x - 1)^2}\,dx.

    Ver solución
    1. Con un factor repetido se incluye una fracción por cada potencia: x+3(x−1)2=Ax−1+B(x−1)2\frac{x + 3}{(x - 1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2}.
    2. x+3=A(x−1)+Bx + 3 = A(x - 1) + B. Con x=1x = 1: B=4B = 4. Comparando coeficientes de xx: A=1A = 1.
    3. ∫(1x−1+4(x−1)2)dx=ln⁡∣x−1∣−4x−1+C\int\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{4}{(x - 1)^2}\right)dx = \ln|x - 1| - \frac{4}{x - 1} + C.

    Resultado final: ∫x+3(x−1)2 dx=ln⁡∣x−1∣−4x−1+C\displaystyle \int \frac{x + 3}{(x - 1)^2}\,dx = \ln|x - 1| - \frac{4}{x - 1} + C

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  5. Factor repetido x² junto a un factor distinto

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Descomposición A/x + B/x² + C/(x + 1)

    Calcula ∫dxx2(x+1)\displaystyle \int \frac{dx}{x^2(x + 1)}.

    Ver solución
    1. Planteamos 1x2(x+1)=Ax+Bx2+Cx+1\frac{1}{x^2(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}, es decir, 1=Ax(x+1)+B(x+1)+Cx21 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2.
    2. Con x=0x = 0: B=1B = 1. Con x=−1x = -1: C=1C = 1. Coeficiente de x2x^2: A+C=0A + C = 0, de donde A=−1A = -1.
    3. ∫(−1x+1x2+1x+1)dx=−ln⁡∣x∣−1x+ln⁡∣x+1∣+C\int\left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1}\right)dx = -\ln|x| - \frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C.

    Resultado final: ∫dxx2(x+1)=ln⁡∣x+1x∣−1x+C\displaystyle \int \frac{dx}{x^2(x + 1)} = \ln\left|\frac{x + 1}{x}\right| - \frac{1}{x} + C

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  6. Fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Descomposición A/x + (Bx + C)/(x² + 1)

    Calcula ∫dxx(x2+1)\displaystyle \int \frac{dx}{x\left(x^2 + 1\right)}.

    Ver solución
    1. x2+1x^2 + 1 es irreducible (no tiene raíces reales), así que su numerador debe ser lineal: 1x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}.
    2. 1=A(x2+1)+(Bx+C)x1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x. Con x=0x = 0: A=1A = 1. Coeficiente de x2x^2: A+B=0A + B = 0, de donde B=−1B = -1. Coeficiente de xx: C=0C = 0.
    3. ∫(1x−xx2+1)dx=ln⁡∣x∣−12ln⁡(x2+1)+C\int\left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 1}\right)dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C, con la sustitución u=x2+1u = x^2 + 1 en el segundo término.

    Resultado final: ∫dxx(x2+1)=ln⁡∣x∣−12ln⁡(x2+1)+C\displaystyle \int \frac{dx}{x\left(x^2 + 1\right)} = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C

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  7. Fracción impropia: dividir antes de descomponer

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    División de polinomios

    Calcula ∫x3+x+1x2+1 dx\displaystyle \int \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1}\,dx.

    Ver solución
    1. La fracción es impropia (grado 3≥23 \ge 2): primero se dividen los polinomios.
    2. x3+x+1=x(x2+1)+1x^3 + x + 1 = x\left(x^2 + 1\right) + 1, así que x3+x+1x2+1=x+1x2+1\frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} = x + \frac{1}{x^2 + 1}.
    3. ∫(x+1x2+1)dx=x22+arctan⁡x+C\int\left(x + \frac{1}{x^2 + 1}\right)dx = \frac{x^2}{2} + \arctan x + C.

    Resultado final: ∫x3+x+1x2+1 dx=x22+arctan⁡x+C\displaystyle \int \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1}\,dx = \frac{x^2}{2} + \arctan x + C

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  8. Factor lineal y factor cuadrático irreducible

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Avanzado
    Método
    Descomposición y separación en logaritmo y arcotangente

    Calcula ∫3x+1(x−1)(x2+1) dx\displaystyle \int \frac{3x + 1}{(x - 1)\left(x^2 + 1\right)}\,dx.

    Ver solución
    1. Planteamos Ax−1+Bx+Cx2+1\frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}, es decir, 3x+1=A(x2+1)+(Bx+C)(x−1)3x + 1 = A\left(x^2 + 1\right) + (Bx + C)(x - 1).
    2. Con x=1x = 1: 4=2A4 = 2A, de donde A=2A = 2. Coeficiente de x2x^2: 0=A+B0 = A + B, de donde B=−2B = -2. Término constante: 1=A−C1 = A - C, de donde C=1C = 1.
    3. Separamos: 2x−1−2xx2+1+1x2+1\frac{2}{x - 1} - \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1}.
    4. Integramos: 2ln⁡∣x−1∣−ln⁡(x2+1)+arctan⁡x+C2\ln|x - 1| - \ln\left(x^2 + 1\right) + \arctan x + C.

    Resultado final: ∫3x+1(x−1)(x2+1) dx=2ln⁡∣x−1∣−ln⁡(x2+1)+arctan⁡x+C\displaystyle \int \frac{3x + 1}{(x - 1)(x^2 + 1)}\,dx = 2\ln|x - 1| - \ln\left(x^2 + 1\right) + \arctan x + C

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  9. Integral definida con fracciones parciales

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Descomposición y regla de Barrow

    Calcula ∫23dxx2−x\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{dx}{x^2 - x}.

    Ver solución
    1. x2−x=x(x−1)x^2 - x = x(x - 1), y 1x(x−1)=Ax+Bx−1\frac{1}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} con 1=A(x−1)+Bx1 = A(x - 1) + Bx. Con x=0x = 0: A=−1A = -1; con x=1x = 1: B=1B = 1.
    2. Primitiva: ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x∣=ln⁡∣x−1x∣\ln|x - 1| - \ln|x| = \ln\left|\frac{x - 1}{x}\right|, válida en [2,3][2, 3], donde el integrando es continuo.
    3. [ln⁡x−1x]23=ln⁡23−ln⁡12=ln⁡43\left[\ln\frac{x - 1}{x}\right]_{2}^{3} = \ln\frac{2}{3} - \ln\frac{1}{2} = \ln\frac{4}{3}.

    Resultado final: ∫23dxx2−x=ln⁡43\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{dx}{x^2 - x} = \ln\frac{4}{3}

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  10. Fracciones parciales con un factor cuadrático repetido

    Tema
    6. Integrales › 6.7 Fracciones parciales
    Dificultad
    Avanzado
    Método
    Descomposición (Ax + B)/(x² + 1) + (Cx + D)/(x² + 1)²

    Calcula ∫x3+2x(x2+1)2 dx\displaystyle \int \frac{x^3 + 2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}\,dx.

    Ver solución
    1. Planteamos Ax+Bx2+1+Cx+D(x2+1)2\frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{Cx + D}{(x^2 + 1)^2}, es decir, x3+2x=(Ax+B)(x2+1)+Cx+Dx^3 + 2x = (Ax + B)(x^2 + 1) + Cx + D.
    2. Comparando coeficientes: x3x^3: A=1A = 1; x2x^2: B=0B = 0; xx: A+C=2A + C = 2, de donde C=1C = 1; término constante: B+D=0B + D = 0, de donde D=0D = 0.
    3. El integrando es xx2+1+x(x2+1)2\frac{x}{x^2 + 1} + \frac{x}{(x^2 + 1)^2}. Con u=x2+1u = x^2 + 1, du=2x dxdu = 2x\,dx: 12∫duu+12∫duu2\frac{1}{2}\int\frac{du}{u} + \frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2}.
    4. Resultado: 12ln⁡(x2+1)−12(x2+1)+C\frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) - \frac{1}{2\left(x^2 + 1\right)} + C.

    Resultado final: ∫x3+2x(x2+1)2 dx=12ln⁡(x2+1)−12(x2+1)+C\displaystyle \int \frac{x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) - \frac{1}{2\left(x^2 + 1\right)} + C

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