Fracción impropia: dividir antes de descomponer

1. La fracción es impropia (grado $3 \ge 2$): primero se dividen los polinomios.
2. $x^3 + x + 1 = x\left(x^2 + 1\right) + 1$, así que $\frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} = x + \frac{1}{x^2 + 1}$.
3. $\int\left(x + \frac{1}{x^2 + 1}\right)dx = \frac{x^2}{2} + \arctan x + C$.

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1}\,dx = \frac{x^2}{2} + \arctan x + C$