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Ejercicios de Cálculo
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Dos primitivas que parecen distintas

Tema
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Dificultad
Intermedio
Método
Primitivas de una misma función difieren en una constante

Muestra que F(x)=sen⁡2xF(x) = \operatorname{sen}^2 x y G(x)=−cos⁡2xG(x) = -\cos^2 x son ambas primitivas de f(x)=2sen⁡xcos⁡xf(x) = 2\operatorname{sen} x\cos x, y explica por qué no hay contradicción.

Ver solución
  1. F′(x)=2sen⁡xcos⁡xF'(x) = 2\operatorname{sen} x\cos x, por la regla de la cadena.
  2. G′(x)=−2cos⁡x⋅(−sen⁡x)=2sen⁡xcos⁡xG'(x) = -2\cos x \cdot (-\operatorname{sen} x) = 2\operatorname{sen} x\cos x.
  3. Ambas son primitivas de ff. Dos primitivas de la misma función en un intervalo difieren en una constante.
  4. Comprobación: F(x)−G(x)=sen⁡2x+cos⁡2x=1F(x) - G(x) = \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1. Por eso no hay contradicción: la constante CC de la integral indefinida absorbe esa diferencia.

Resultado final: F′=G′=fF' = G' = f y F−G=1F - G = 1: ambas son primitivas válidas.