6.1 Fundamentos de integración

1. Verificar que una función es antiderivada de otra

   Tema

   6. Integrales › 6.1 Fundamentos de integración

   Dificultad

   Básico

   Método

   Definición de antiderivada: F' = f

   ¿Es $F(x) = x^3 + 2x - 7$ una antiderivada de $f(x) = 3x^2 + 2$?

   Ver solución

   1. $F$ es una antiderivada (o primitiva) de $f$ en un intervalo si $F'(x) = f(x)$ para todo $x$ del intervalo.
   2. Derivamos: $F'(x) = 3x^2 + 2 - 0 = 3x^2 + 2$.
   3. Coincide con $f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
   4. La constante $-7$ no afecta: cualquier $x^3 + 2x + C$ también es antiderivada.

   Resultado final: Sí, $F'(x) = 3x^2 + 2 = f(x)$.

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2. La primitiva que pasa por un punto dado

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Familia de primitivas y determinación de la constante

   Halla la primitiva de $f(x) = \cos x$ cuya gráfica pasa por el punto $\left(\dfrac{\pi}{2}, 3\right)$.

   Ver solución

   1. Todas las primitivas de $\cos x$ son $F(x) = \operatorname{sen} x + C$, porque $(\operatorname{sen} x)' = \cos x$.
   2. Imponemos $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3$: $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} + C = 1 + C = 3$.
   3. Entonces $C = 2$.

   Resultado final: $F(x) = \operatorname{sen} x + 2$

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3. Comprobar una integral derivando el resultado

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Verificación por derivación

   Comprueba, sin integrar, que

   $$\int x e^{x}\,dx = (x - 1)e^{x} + C$$

   Ver solución

   1. Una integral indefinida es correcta si la derivada del resultado es igual al integrando.
   2. Derivamos $(x - 1)e^{x}$ con la regla del producto: $1 \cdot e^{x} + (x - 1)e^{x}$.
   3. Simplificamos: $e^{x} + xe^{x} - e^{x} = xe^{x}$.
   4. Coincide con el integrando, así que la fórmula es correcta.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\left[(x - 1)e^{x} + C\right] = xe^{x}$: la integral es correcta.

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4. Propiedades lineales de la integral

   Tema

   6. Integrales › 6.1 Fundamentos de integración

   Dificultad

   Básico

   Método

   Linealidad: ∫(af + bg) = a∫f + b∫g

   Calcula

   $$\int \left(3\cos x - \frac{4}{x}\right)dx$$

   Ver solución

   1. Linealidad: la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales.
   2. $\int 3\cos x\,dx = 3\operatorname{sen} x$.
   3. $\int \frac{4}{x}\,dx = 4\ln|x|$, para $x \neq 0$.
   4. Restamos y agregamos una sola constante: $3\operatorname{sen} x - 4\ln|x| + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \left(3\cos x - \frac{4}{x}\right)dx = 3\operatorname{sen} x - 4\ln|x| + C$

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5. Dos primitivas que parecen distintas

   Tema

   6. Integrales › 6.1 Fundamentos de integración

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Primitivas de una misma función difieren en una constante

   Muestra que $F(x) = \operatorname{sen}^2 x$ y $G(x) = -\cos^2 x$ son ambas primitivas de $f(x) = 2\operatorname{sen} x\cos x$, y explica por qué no hay contradicción.

   Ver solución

   1. $F'(x) = 2\operatorname{sen} x\cos x$, por la regla de la cadena.
   2. $G'(x) = -2\cos x \cdot (-\operatorname{sen} x) = 2\operatorname{sen} x\cos x$.
   3. Ambas son primitivas de $f$. Dos primitivas de la misma función en un intervalo difieren en una constante.
   4. Comprobación: $F(x) - G(x) = \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$. Por eso no hay contradicción: la constante $C$ de la integral indefinida absorbe esa diferencia.

   Resultado final: $F' = G' = f$ y $F - G = 1$: ambas son primitivas válidas.

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6. Hallar una función a partir de su derivada y un valor

   Tema

   6. Integrales › 6.1 Fundamentos de integración

   Dificultad

   Básico

   Método

   Integración y condición inicial

   Halla $f$ si $f'(x) = 6x^2 - 4$ y $f(1) = 5$.

   Ver solución

   1. Integramos: $f(x) = \int(6x^2 - 4)\,dx = 2x^3 - 4x + C$.
   2. Condición inicial: $f(1) = 2 - 4 + C = 5$, de donde $C = 7$.
   3. Comprobación: $f'(x) = 6x^2 - 4$ y $f(1) = 2 - 4 + 7 = 5$.

   Resultado final: $f(x) = 2x^3 - 4x + 7$

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7. Hallar una función a partir de su segunda derivada

   Tema

   6. Integrales › 6.1 Fundamentos de integración

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Integración sucesiva con dos condiciones

   Halla $f$ si $f''(x) = 12x$, $f'(0) = 1$ y $f(0) = 2$.

   Ver solución

   1. Primera integración: $f'(x) = \int 12x\,dx = 6x^2 + C_1$. Con $f'(0) = 1$: $C_1 = 1$, así que $f'(x) = 6x^2 + 1$.
   2. Segunda integración: $f(x) = \int(6x^2 + 1)\,dx = 2x^3 + x + C_2$.
   3. Con $f(0) = 2$: $C_2 = 2$.
   4. Se necesitan dos condiciones porque cada integración introduce una constante.

   Resultado final: $f(x) = 2x^3 + x + 2$

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8. Posición a partir de la aceleración

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Integración sucesiva con condiciones iniciales

   Una partícula tiene aceleración $a(t) = 6t$ m/s², velocidad inicial $v(0) = 2$ m/s y posición inicial $s(0) = 1$ m. Halla $v(t)$ y $s(t)$.

   Ver solución

   1. La velocidad es una antiderivada de la aceleración: $v(t) = \int 6t\,dt = 3t^2 + C_1$. Con $v(0) = 2$: $C_1 = 2$.
   2. La posición es una antiderivada de la velocidad: $s(t) = \int(3t^2 + 2)\,dt = t^3 + 2t + C_2$.
   3. Con $s(0) = 1$: $C_2 = 1$.
   4. Por ejemplo, en $t = 2$ s: $v(2) = 14$ m/s y $s(2) = 8 + 4 + 1 = 13$ m.

   Resultado final: $v(t) = 3t^2 + 2$ y $s(t) = t^3 + 2t + 1$

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9. Integrar leyendo al revés una derivada conocida

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Relación entre derivación e integración

   Sabiendo que $\dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2}$ y que $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsen} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, calcula

   $$\int \frac{dx}{1 + x^2} \qquad \text{y} \qquad \int \frac{5\,dx}{\sqrt{1 - x^2}}$$

   Ver solución

   1. Si $F'(x) = f(x)$, entonces $\int f(x)\,dx = F(x) + C$: cada fórmula de derivación, leída al revés, da una fórmula de integración.
   2. Como $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$: $\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C$.
   3. Como $(\operatorname{arcsen} x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, por linealidad: $\int \frac{5\,dx}{\sqrt{1 - x^2}} = 5\operatorname{arcsen} x + C$, para $|x| < 1$.

   Resultado final: $\arctan x + C$ y $5\operatorname{arcsen} x + C$

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10. La integral de un producto no es el producto de integrales

    Tema

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    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Contraejemplo verificado por derivación

    Muestra con $f(x) = g(x) = x$ que, en general, $\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx \neq \int f(x)\,dx \cdot \int g(x)\,dx$.

    Ver solución

    1. Lado izquierdo: $\int x \cdot x\,dx = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$.
    2. Producto de integrales: $\int x\,dx \cdot \int x\,dx = \frac{x^2}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{4}$ (sin constantes).
    3. Verificación por derivación: $\left(\frac{x^4}{4}\right)' = x^3 \neq x^2$, así que $\frac{x^4}{4}$ no es primitiva de $x^2$.
    4. Por eso hacen falta técnicas como la sustitución y la integración por partes; la linealidad solo vale para sumas y constantes.

    Resultado final: $\displaystyle \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C \neq \frac{x^4}{4}$: la propiedad es falsa en general.

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