Integrar leyendo al revés una derivada conocida

Sabiendo que $\dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2}$ y que $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsen} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ , calcula

\int \frac{dx}{1 + x^2} \qquad \text{y} \qquad \int \frac{5\,dx}{\sqrt{1 - x^2}}

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Si $F'(x) = f(x)$ , entonces $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ : cada fórmula de derivación, leída al revés, da una fórmula de integración.
Como $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$ : $\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C$ .
Como $(\operatorname{arcsen} x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ , por linealidad: $\int \frac{5\,dx}{\sqrt{1 - x^2}} = 5\operatorname{arcsen} x + C$ , para $|x| < 1$ .

Resultado final: $\arctan x + C$ y $5\operatorname{arcsen} x + C$