Área bajo una parábola y valor promedio

1. Cortes con el eje $x$: $4 - x^2 = 0$, es decir, $x = \pm 2$. En $[-2, 2]$ se cumple $4 - x^2 \ge 0$.
2. Área: $\int_{-2}^{2}\left(4 - x^2\right)dx$. Como el integrando es par, es igual a $2\int_0^2\left(4 - x^2\right)dx = 2\left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 2\left(8 - \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}$.
3. Valor promedio: $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{3} = \frac{8}{3}$.
4. Interpretación: un rectángulo de base $4$ y altura $\frac{8}{3}$ tiene la misma área que la región.

Resultado final: Área $= \dfrac{32}{3}$; valor promedio $= \dfrac{8}{3}$.