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Ejercicios de Cálculo
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6.10 Integrales impropias y aplicaciones

Contenidos de esta sección

  1. Área entre dos curvas

    Tema
    6. Integrales › 6.10 Integrales impropias y aplicaciones
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Integral de la diferencia de las curvas

    Calcula el área de la región encerrada entre las curvas

    y=xey=x2y = x \quad \text{e} \quad y = x^2
    Ver solución
    1. Hallamos los puntos de corte igualando: x=x2x = x^2, es decir, x2−x=x(x−1)=0x^2 - x = x(x - 1) = 0, de donde x=0x = 0 y x=1x = 1.
    2. Vemos qué curva está arriba en (0,1)(0, 1): por ejemplo en x=12x = \frac{1}{2}, la recta y=xy = x vale 12\frac{1}{2} y la parábola y=x2y = x^2 vale 14\frac{1}{4}. La recta está arriba.
    3. El área es la integral de la curva de arriba menos la de abajo: A=∫01(x−x2) dxA = \int_{0}^{1} \left(x - x^2\right)\,dx.
    4. Integramos: [x22−x33]01=12−13−0\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 0.
    5. Operamos: 36−26=16\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} unidades cuadradas.

    Resultado final: A=16A = \dfrac{1}{6}

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  2. Integral impropia convergente con intervalo infinito

    Tema
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    Dificultad
    Básico
    Método
    Definición como límite de integrales definidas

    Determina si converge ∫1∞dxx2\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} y, en ese caso, calcula su valor.

    Ver solución
    1. Definición: ∫1∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫1bf(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx = \displaystyle \lim_{b \to \infty}\int_1^b f(x)\,dx, si el límite existe y es finito.
    2. ∫1bx−2 dx=[−1x]1b=1−1b\int_1^b x^{-2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = 1 - \frac{1}{b}.
    3. lim⁡b→∞(1−1b)=1\displaystyle \lim_{b \to \infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1.
    4. El límite es finito: la integral converge y vale 11. Aunque la región no está acotada, su área es finita.

    Resultado final: Converge: ∫1∞dxx2=1\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} = 1

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  3. Integral impropia divergente: 1/x

    Tema
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    Dificultad
    Básico
    Método
    Definición como límite de integrales definidas

    Determina si converge ∫1∞dxx\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x}.

    Ver solución
    1. ∫1∞dxx=lim⁡b→∞∫1bdxx\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \displaystyle \lim_{b \to \infty}\int_1^b \frac{dx}{x}.
    2. ∫1bdxx=[ln⁡x]1b=ln⁡b\int_1^b \frac{dx}{x} = \left[\ln x\right]_1^b = \ln b.
    3. lim⁡b→∞ln⁡b=∞\displaystyle \lim_{b \to \infty}\ln b = \infty.
    4. La integral diverge. Aunque 1x→0\frac{1}{x} \to 0, no decrece lo bastante rápido; en general, ∫1∞dxxp\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} converge solo si p>1p > 1.

    Resultado final: ∫1∞dxx\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} diverge.

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  4. Integral impropia con discontinuidad en un extremo

    Tema
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    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Límite lateral en el extremo de la discontinuidad

    Determina si converge ∫01dxx\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} y calcula su valor.

    Ver solución
    1. El integrando no está acotado cerca de x=0x = 0 (tiende a +∞+\infty): la integral es impropia aunque el intervalo sea finito.
    2. Definición: ∫01dxx=lim⁡a→0+∫a1x−1/2 dx\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \displaystyle \lim_{a \to 0^+}\int_a^1 x^{-1/2}\,dx.
    3. ∫a1x−1/2 dx=[2x]a1=2−2a\int_a^1 x^{-1/2}\,dx = \left[2\sqrt{x}\right]_a^1 = 2 - 2\sqrt{a}.
    4. lim⁡a→0+(2−2a)=2\displaystyle \lim_{a \to 0^+}\left(2 - 2\sqrt{a}\right) = 2. Converge.

    Resultado final: Converge: ∫01dxx=2\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2

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  5. Área bajo una parábola y valor promedio

    Tema
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    Dificultad
    Básico
    Método
    Integral definida y simetría par

    Calcula el área de la región entre la parábola y=4−x2y = 4 - x^2 y el eje xx, y el valor promedio de la función en [−2,2][-2, 2].

    Ver solución
    1. Cortes con el eje xx: 4−x2=04 - x^2 = 0, es decir, x=±2x = \pm 2. En [−2,2][-2, 2] se cumple 4−x2≥04 - x^2 \ge 0.
    2. Área: ∫−22(4−x2)dx\int_{-2}^{2}\left(4 - x^2\right)dx. Como el integrando es par, es igual a 2∫02(4−x2)dx=2[4x−x33]02=2(8−83)=3232\int_0^2\left(4 - x^2\right)dx = 2\left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 2\left(8 - \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}.
    3. Valor promedio: fˉ=1b−a∫abf(x) dx=14⋅323=83\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{3} = \frac{8}{3}.
    4. Interpretación: un rectángulo de base 44 y altura 83\frac{8}{3} tiene la misma área que la región.

    Resultado final: Área =323= \dfrac{32}{3}; valor promedio =83= \dfrac{8}{3}.

    −3−2.5−2−1.5−1−0.50.511.522.53−1−0.50.511.522.533.544.55xy
    • y=4−x2y = 4 - x^2
    • valorpromedio:y=8/3valor promedio: y = 8/3

    La parábola y = 4 − x² corta al eje x en -2 y 2; el área bajo ella es 32/3 y su valor promedio en [-2, 2] es 8/3 (línea punteada).

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  6. Volumen de revolución por discos

    Tema
    6. Integrales › 6.10 Integrales impropias y aplicaciones
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Método de discos: V = π∫[f(x)]² dx

    La región bajo y=xy = \sqrt{x}, entre x=0x = 0 y x=4x = 4, gira alrededor del eje xx. Calcula el volumen del sólido.

    Ver solución
    1. Cada sección perpendicular al eje xx es un disco de radio f(x)=xf(x) = \sqrt{x}, con área π(x)2=πx\pi\left(\sqrt{x}\right)^2 = \pi x.
    2. Método de discos: V=π∫04[f(x)]2dx=π∫04x dxV = \pi\int_0^4\left[f(x)\right]^2dx = \pi\int_0^4 x\,dx.
    3. π[x22]04=π⋅8=8π\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi.

    Resultado final: V=8π≈25.13V = 8\pi \approx 25.13 unidades cúbicas.

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  7. Volumen de revolución por arandelas

    Tema
    6. Integrales › 6.10 Integrales impropias y aplicaciones
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Método de arandelas: V = π∫(R² − r²) dx

    La región entre y=xy = x e y=x2y = x^2, para 0≤x≤10 \le x \le 1, gira alrededor del eje xx. Calcula el volumen.

    Ver solución
    1. En [0,1][0, 1] se cumple x≥x2x \ge x^2: el radio exterior es R(x)=xR(x) = x y el interior es r(x)=x2r(x) = x^2.
    2. Cada sección es una arandela de área π(R2−r2)=π(x2−x4)\pi\left(R^2 - r^2\right) = \pi\left(x^2 - x^4\right).
    3. V=π∫01(x2−x4)dx=π(13−15)=2π15V = \pi\int_0^1\left(x^2 - x^4\right)dx = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}.
    4. Ojo: se restan los cuadrados de los radios, R2−r2R^2 - r^2, no el cuadrado de la diferencia (R−r)2(R - r)^2.

    Resultado final: V=2π15V = \dfrac{2\pi}{15} unidades cúbicas.

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  8. Volumen de revolución por capas cilíndricas

    Tema
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    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Método de capas: V = 2π∫x f(x) dx

    La región bajo y=x−x2y = x - x^2 y sobre el eje xx gira alrededor del eje yy. Calcula el volumen.

    Ver solución
    1. La región está entre x=0x = 0 y x=1x = 1, donde x−x2≥0x - x^2 \ge 0. Al girar alrededor del eje yy, cada franja vertical en xx genera una capa cilíndrica de radio xx y altura x−x2x - x^2.
    2. Método de capas: V=2π∫01x(x−x2)dx=2π∫01(x2−x3)dxV = 2\pi\int_0^1 x\left(x - x^2\right)dx = 2\pi\int_0^1\left(x^2 - x^3\right)dx.
    3. 2π(13−14)=2π⋅112=π62\pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}.
    4. Con discos habría que despejar xx en función de yy (dos ramas); las capas evitan ese paso.

    Resultado final: V=π6V = \dfrac{\pi}{6} unidades cúbicas.

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  9. Longitud de arco de una curva

    Tema
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    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Fórmula L = ∫√(1 + (y')²) dx

    Calcula la longitud de la curva y=23x3/2y = \dfrac{2}{3}x^{3/2} entre x=0x = 0 y x=3x = 3.

    Ver solución
    1. Fórmula de la longitud de arco: L=∫ab1+[f′(x)]2 dxL = \int_a^b\sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\,dx.
    2. f′(x)=23⋅32x1/2=xf'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = \sqrt{x}, así que 1+[f′(x)]2=1+x1 + \left[f'(x)\right]^2 = 1 + x.
    3. L=∫031+x dx=[23(1+x)3/2]03=23(8−1)L = \int_0^3\sqrt{1 + x}\,dx = \left[\frac{2}{3}(1 + x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3}\left(8 - 1\right).
    4. L=143≈4.67L = \frac{14}{3} \approx 4.67.

    Resultado final: L=143L = \dfrac{14}{3} unidades.

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  10. Trabajo para estirar un resorte

    Tema
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    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Trabajo como integral de una fuerza variable

    Un resorte tiene constante k=200k = 200 N/m. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirarlo 0.30.3 m desde su longitud natural?

    Ver solución
    1. Ley de Hooke: para estirar el resorte xx metros se necesita la fuerza F(x)=kx=200xF(x) = kx = 200x newtons. La fuerza varía con xx.
    2. Con una fuerza variable, el trabajo es W=∫abF(x) dxW = \int_a^b F(x)\,dx.
    3. W=∫00.3200x dx=[100x2]00.3=100⋅0.09=9W = \int_0^{0.3} 200x\,dx = \left[100x^2\right]_0^{0.3} = 100 \cdot 0.09 = 9.
    4. Las unidades son N·m, es decir, julios.

    Resultado final: W=9W = 9 J.

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