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Ejercicios de Cálculo
← 6.10 Integrales impropias y aplicaciones

Integral impropia convergente con intervalo infinito

Tema
6. Integrales › 6.10 Integrales impropias y aplicaciones
Dificultad
Básico
Método
Definición como límite de integrales definidas

Determina si converge ∫1∞dxx2\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} y, en ese caso, calcula su valor.

Ver solución
  1. Definición: ∫1∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫1bf(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx = \displaystyle \lim_{b \to \infty}\int_1^b f(x)\,dx, si el límite existe y es finito.
  2. ∫1bx−2 dx=[−1x]1b=1−1b\int_1^b x^{-2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = 1 - \frac{1}{b}.
  3. lim⁡b→∞(1−1b)=1\displaystyle \lim_{b \to \infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1.
  4. El límite es finito: la integral converge y vale 11. Aunque la región no está acotada, su área es finita.

Resultado final: Converge: ∫1∞dxx2=1\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} = 1