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Ejercicios de Cálculo
← 6.10 Integrales impropias y aplicaciones

Integral impropia divergente: 1/x

Tema
6. Integrales › 6.10 Integrales impropias y aplicaciones
Dificultad
Básico
Método
Definición como límite de integrales definidas

Determina si converge ∫1∞dxx\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x}.

Ver solución
  1. ∫1∞dxx=lim⁡b→∞∫1bdxx\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \displaystyle \lim_{b \to \infty}\int_1^b \frac{dx}{x}.
  2. ∫1bdxx=[ln⁡x]1b=ln⁡b\int_1^b \frac{dx}{x} = \left[\ln x\right]_1^b = \ln b.
  3. lim⁡b→∞ln⁡b=∞\displaystyle \lim_{b \to \infty}\ln b = \infty.
  4. La integral diverge. Aunque 1x→0\frac{1}{x} \to 0, no decrece lo bastante rápido; en general, ∫1∞dxxp\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} converge solo si p>1p > 1.

Resultado final: ∫1∞dxx\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} diverge.