Sumas inferior y superior con cuatro rectángulos

Tema: 6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
Dificultad: Intermedio
Método: Sumas inferior y superior de una función creciente

Para $f(x) = x^2$ en $[0, 2]$ con $n = 4$ subintervalos iguales, calcula la suma inferior y la superior, y compáralas con el valor exacto de la integral.

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$\Delta x = 0.5$ ; los puntos son $0, 0.5, 1, 1.5, 2$ . Como $f$ es creciente en $[0, 2]$ , el mínimo de cada subintervalo está a la izquierda y el máximo a la derecha.
Suma inferior: $0.5\left(0 + 0.25 + 1 + 2.25\right) = 0.5 \cdot 3.5 = 1.75$ .
Suma superior: $0.5\left(0.25 + 1 + 2.25 + 4\right) = 0.5 \cdot 7.5 = 3.75$ .
El valor exacto, $\frac{8}{3} \approx 2.667$ , queda entre ambas: $1.75 \le \int_0^2 x^2\,dx \le 3.75$ . Al aumentar $n$ , las dos sumas se acercan al valor exacto.

Resultado final: Suma inferior $1.75$ y suma superior $3.75$ ; el valor exacto, $\dfrac{8}{3}$ , está entre ellas.