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Ejercicios de Cálculo
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6.9 Integrales definidas

Contenidos de esta sección

  1. Integral definida con el teorema fundamental del cálculo

    Tema
    6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Teorema fundamental del cálculo (regla de Barrow)

    Calcula la siguiente integral definida:

    ∫02(3x2+1) dx\int_{0}^{2} (3x^2 + 1)\,dx
    Ver solución
    1. Por el teorema fundamental del cálculo, ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a), donde FF es una antiderivada de ff.
    2. Hallamos una antiderivada con la regla de la potencia: F(x)=x3+xF(x) = x^3 + x.
    3. Evaluamos en el límite superior: F(2)=23+2=10F(2) = 2^3 + 2 = 10.
    4. Evaluamos en el límite inferior: F(0)=03+0=0F(0) = 0^3 + 0 = 0.
    5. Restamos: F(2)−F(0)=10−0=10F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10.

    Resultado final: ∫02(3x2+1) dx=10\displaystyle \int_{0}^{2} (3x^2 + 1)\,dx = 10

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  2. Integral definida con cambio de variable

    Tema
    6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
    Dificultad
    Avanzado
    Método
    Cambio de variable con cambio de límites

    Calcula la siguiente integral definida:

    ∫01xx2+1 dx\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 1}\,dx
    Ver solución
    1. El numerador es, salvo una constante, la derivada del denominador. Hacemos el cambio u=x2+1u = x^2 + 1, con du=2x dxdu = 2x\,dx, es decir, x dx=du2x\,dx = \frac{du}{2}.
    2. Cambiamos los límites de integración: si x=0x = 0, u=1u = 1; si x=1x = 1, u=2u = 2.
    3. Sustituimos: ∫01xx2+1 dx=12∫12duu\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{du}{u}.
    4. Integramos: 12[ln⁡u]12=12(ln⁡2−ln⁡1)\frac{1}{2} \left[\ln u\right]_{1}^{2} = \frac{1}{2}(\ln 2 - \ln 1).
    5. Como ln⁡1=0\ln 1 = 0, el resultado es 12ln⁡2≈0.3466\frac{1}{2} \ln 2 \approx 0.3466.

    Resultado final: ∫01xx2+1 dx=12ln⁡2\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2} \ln 2

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  3. Integral definida como límite de sumas de Riemann

    Tema
    6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
    Dificultad
    Avanzado
    Método
    Sumas de Riemann por la derecha y fórmula de Σk²

    Calcula ∫02x2 dx\displaystyle \int_{0}^{2} x^2\,dx como límite de sumas de Riemann por la derecha.

    Ver solución
    1. Dividimos [0,2][0, 2] en nn subintervalos iguales: Δx=2n\Delta x = \frac{2}{n} y xk=2knx_k = \frac{2k}{n}, para k=1,…,nk = 1, \ldots, n.
    2. Suma de Riemann por la derecha: Rn=∑k=1nf(xk)Δx=∑k=1n4k2n2⋅2n=8n3∑k=1nk2R_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x = \sum_{k=1}^{n} \frac{4k^2}{n^2} \cdot \frac{2}{n} = \frac{8}{n^3}\sum_{k=1}^{n} k^2.
    3. Con ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}: Rn=8n3⋅n(n+1)(2n+1)6=43(1+1n)(2+1n)R_n = \frac{8}{n^3} \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{4}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right).
    4. Cuando n→∞n \to \infty: 43⋅1⋅2=83\frac{4}{3} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{8}{3}. Coincide con la regla de Barrow: [x33]02=83\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}.

    Resultado final: ∫02x2 dx=lim⁡n→∞Rn=83\displaystyle \int_{0}^{2} x^2\,dx = \lim_{n \to \infty} R_n = \frac{8}{3}

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  4. Sumas inferior y superior con cuatro rectángulos

    Tema
    6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Sumas inferior y superior de una función creciente

    Para f(x)=x2f(x) = x^2 en [0,2][0, 2] con n=4n = 4 subintervalos iguales, calcula la suma inferior y la superior, y compáralas con el valor exacto de la integral.

    Ver solución
    1. Δx=0.5\Delta x = 0.5; los puntos son 0,0.5,1,1.5,20, 0.5, 1, 1.5, 2. Como ff es creciente en [0,2][0, 2], el mínimo de cada subintervalo está a la izquierda y el máximo a la derecha.
    2. Suma inferior: 0.5(0+0.25+1+2.25)=0.5⋅3.5=1.750.5\left(0 + 0.25 + 1 + 2.25\right) = 0.5 \cdot 3.5 = 1.75.
    3. Suma superior: 0.5(0.25+1+2.25+4)=0.5⋅7.5=3.750.5\left(0.25 + 1 + 2.25 + 4\right) = 0.5 \cdot 7.5 = 3.75.
    4. El valor exacto, 83≈2.667\frac{8}{3} \approx 2.667, queda entre ambas: 1.75≤∫02x2 dx≤3.751.75 \le \int_0^2 x^2\,dx \le 3.75. Al aumentar nn, las dos sumas se acercan al valor exacto.

    Resultado final: Suma inferior 1.751.75 y suma superior 3.753.75; el valor exacto, 83\dfrac{8}{3}, está entre ellas.

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  5. Propiedades de la integral definida

    Tema
    6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Aditividad, linealidad e inversión de límites

    Si ∫03f=5\displaystyle \int_{0}^{3} f = 5, ∫05f=2\displaystyle \int_{0}^{5} f = 2 y ∫05g=4\displaystyle \int_{0}^{5} g = 4, calcula ∫35f\displaystyle \int_{3}^{5} f, ∫05(2f−3g)\displaystyle \int_{0}^{5}(2f - 3g) y ∫50g\displaystyle \int_{5}^{0} g.

    Ver solución
    1. Aditividad: ∫05f=∫03f+∫35f\int_0^5 f = \int_0^3 f + \int_3^5 f, así que ∫35f=2−5=−3\int_3^5 f = 2 - 5 = -3.
    2. Linealidad: ∫05(2f−3g)=2∫05f−3∫05g=2(2)−3(4)=−8\int_0^5 (2f - 3g) = 2\int_0^5 f - 3\int_0^5 g = 2(2) - 3(4) = -8.
    3. Inversión de límites: ∫50g=−∫05g=−4\int_5^0 g = -\int_0^5 g = -4.

    Resultado final: ∫35f=−3\displaystyle \int_{3}^{5} f = -3, ∫05(2f−3g)=−8\displaystyle \int_{0}^{5}(2f - 3g) = -8 y ∫50g=−4\displaystyle \int_{5}^{0} g = -4

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  6. Teorema fundamental del cálculo, primera parte

    Tema
    6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    TFC parte 1 y regla de la cadena

    Calcula ddx∫1x21+t3 dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{1}^{x^2} \sqrt{1 + t^3}\,dt.

    Ver solución
    1. TFC (parte 1): si ff es continua, ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).
    2. Aquí el límite superior es x2x^2, no xx. Sea F(u)=∫1u1+t3 dtF(u) = \int_1^u \sqrt{1 + t^3}\,dt; la expresión es F(x2)F(x^2).
    3. Por la cadena: ddxF(x2)=F′(x2)⋅2x=1+(x2)3⋅2x\frac{d}{dx}F(x^2) = F'(x^2) \cdot 2x = \sqrt{1 + (x^2)^3} \cdot 2x.
    4. Resultado: 2x1+x62x\sqrt{1 + x^6}. No hace falta calcular la integral, que no tiene primitiva elemental.

    Resultado final: ddx∫1x21+t3 dt=2x1+x6\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{1}^{x^2} \sqrt{1 + t^3}\,dt = 2x\sqrt{1 + x^6}

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  7. Regla de Barrow: área bajo un arco de seno

    Tema
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    Dificultad
    Básico
    Método
    Regla de Barrow

    Calcula ∫0πsen⁡x dx\displaystyle \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x\,dx e interprétalo.

    Ver solución
    1. Regla de Barrow: si F′=fF' = f en [a,b][a, b], entonces ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).
    2. Una primitiva de sen⁡x\operatorname{sen} x es F(x)=−cos⁡xF(x) = -\cos x.
    3. F(π)−F(0)=−cos⁡π−(−cos⁡0)=1+1=2F(\pi) - F(0) = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2.
    4. Como sen⁡x≥0\operatorname{sen} x \ge 0 en [0,π][0, \pi], el resultado es el área bajo un arco de la curva seno.

    Resultado final: ∫0πsen⁡x dx=2\displaystyle \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x\,dx = 2

    −0.50.511.522.533.50.51xy
    • y=sen⁡x, 0≤x≤πy = \operatorname{sen} x,\ 0 \le x \le \pi

    Un arco de la curva seno entre 0 y π, por encima del eje x; el área bajo él es 2.

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  8. Integral definida de un valor absoluto

    Tema
    6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Partición del intervalo según el signo

    Calcula ∫03∣x−1∣ dx\displaystyle \int_{0}^{3} |x - 1|\,dx.

    Ver solución
    1. ∣x−1∣=1−x|x - 1| = 1 - x si x≤1x \le 1, y ∣x−1∣=x−1|x - 1| = x - 1 si x≥1x \ge 1. Partimos el intervalo en x=1x = 1.
    2. ∫01(1−x) dx=[x−x22]01=12\int_0^1 (1 - x)\,dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}.
    3. ∫13(x−1) dx=[x22−x]13=(92−3)−(12−1)=32+12=2\int_1^3 (x - 1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_1^3 = \left(\frac{9}{2} - 3\right) - \left(\frac{1}{2} - 1\right) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2.
    4. Total: 12+2=52\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}. Son las áreas de dos triángulos, de áreas 12\frac{1}{2} y 22.

    Resultado final: ∫03∣x−1∣ dx=52\displaystyle \int_{0}^{3} |x - 1|\,dx = \frac{5}{2}

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  9. Integral de una función impar en un intervalo simétrico

    Tema
    6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Propiedad de simetría para funciones impares

    Calcula ∫−22(x3cos⁡x+x5)dx\displaystyle \int_{-2}^{2}\left(x^3\cos x + x^5\right)dx sin buscar una primitiva.

    Ver solución
    1. Propiedad: si ff es continua e impar, ∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0, porque las áreas a ambos lados del origen se cancelan.
    2. x3cos⁡xx^3\cos x es impar (producto de una impar por una par): (−x)3cos⁡(−x)=−x3cos⁡x(-x)^3\cos(-x) = -x^3\cos x.
    3. x5x^5 es impar. La suma de impares es impar.
    4. El intervalo [−2,2][-2, 2] es simétrico, así que la integral vale 00.

    Resultado final: ∫−22(x3cos⁡x+x5)dx=0\displaystyle \int_{-2}^{2}\left(x^3\cos x + x^5\right)dx = 0

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  10. Separar la parte par y la parte impar del integrando

    Tema
    6. Integrales › 6.9 Integrales definidas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Propiedades de simetría para funciones pares e impares

    Calcula ∫−π/2π/2(x2sen⁡x+cos⁡x)dx\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(x^2\operatorname{sen} x + \cos x\right)dx.

    Ver solución
    1. Separamos: ∫−π/2π/2x2sen⁡x dx+∫−π/2π/2cos⁡x dx\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2\operatorname{sen} x\,dx + \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx.
    2. x2sen⁡xx^2\operatorname{sen} x es impar (par por impar), así que su integral en el intervalo simétrico es 00.
    3. cos⁡x\cos x es par: ∫−aaf=2∫0af\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f. Entonces 2∫0π/2cos⁡x dx=2[sen⁡x]0π/2=22\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 2\left[\operatorname{sen} x\right]_0^{\pi/2} = 2.
    4. Total: 0+2=20 + 2 = 2.

    Resultado final: ∫−π/2π/2(x2sen⁡x+cos⁡x)dx=2\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(x^2\operatorname{sen} x + \cos x\right)dx = 2

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