Completar el cuadrado para obtener un arcotangente

1. El denominador no se factoriza en los reales (discriminante $16 - 20 < 0$). Completamos el cuadrado: $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1$.
2. Con $u = x + 2$, $du = dx$: $\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan u$.
3. Resultado: $\arctan(x + 2) + C$.

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} = \arctan(x + 2) + C$