6.8 Otras técnicas de integración

1. Racionalización del integrando con u = √x

   Tema

   6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Sustitución que elimina el radical

   Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{1 + \sqrt{x}}$, para $x \ge 0$.

   Ver solución

   1. Hacemos $u = \sqrt{x}$, con $u \ge 0$: $x = u^2$ y $dx = 2u\,du$. El integrando se vuelve racional.
   2. $\int \frac{2u}{1 + u}\,du$. Dividimos: $\frac{2u}{1 + u} = 2 - \frac{2}{1 + u}$.
   3. Integramos: $2u - 2\ln(1 + u)$, sin valor absoluto porque $1 + u > 0$.
   4. Regresamos a $x$: $2\sqrt{x} - 2\ln\left(1 + \sqrt{x}\right) + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{1 + \sqrt{x}} = 2\sqrt{x} - 2\ln\left(1 + \sqrt{x}\right) + C$

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2. Sustitución algebraica con u = √(x + 4)

   Tema

   6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Sustitución algebraica que elimina la raíz

   Calcula $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x + 4}}\,dx$.

   Ver solución

   1. Hacemos $u = \sqrt{x + 4}$: $x = u^2 - 4$ y $dx = 2u\,du$.
   2. $\int \frac{u^2 - 4}{u} \cdot 2u\,du = 2\int\left(u^2 - 4\right)du = \frac{2u^3}{3} - 8u$.
   3. Regresamos a $x$: $\frac{2}{3}(x + 4)^{3/2} - 8\sqrt{x + 4} + C$.
   4. Factorizando: $\frac{2}{3}\sqrt{x + 4}\,(x - 8) + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x + 4}}\,dx = \frac{2}{3}\sqrt{x + 4}\,(x - 8) + C$

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3. Integral con una raíz cúbica

   Tema

   6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

   Dificultad

   Básico

   Método

   Sustitución u = x − 1

   Calcula $\displaystyle \int x\sqrt[3]{x - 1}\,dx$.

   Ver solución

   1. Hacemos $u = x - 1$, con $du = dx$ y $x = u + 1$.
   2. $\int (u + 1)u^{1/3}\,du = \int\left(u^{4/3} + u^{1/3}\right)du = \frac{3}{7}u^{7/3} + \frac{3}{4}u^{4/3}$.
   3. Regresamos a $x$: $\frac{3}{7}(x - 1)^{7/3} + \frac{3}{4}(x - 1)^{4/3} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int x\sqrt[3]{x - 1}\,dx = \frac{3}{7}(x - 1)^{7/3} + \frac{3}{4}(x - 1)^{4/3} + C$

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4. Completar el cuadrado para obtener un arcotangente

   Tema

   6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

   Dificultad

   Básico

   Método

   Completación de cuadrados

   Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}$.

   Ver solución

   1. El denominador no se factoriza en los reales (discriminante $16 - 20 < 0$). Completamos el cuadrado: $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1$.
   2. Con $u = x + 2$, $du = dx$: $\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan u$.
   3. Resultado: $\arctan(x + 2) + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} = \arctan(x + 2) + C$

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5. Completar el cuadrado bajo una raíz para obtener un arcoseno

   Tema

   6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Completación de cuadrados y fórmula del arcoseno

   Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{3 + 2x - x^2}}$, para $-1 < x < 3$.

   Ver solución

   1. Completamos el cuadrado: $3 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x) + 3 = -\left[(x - 1)^2 - 1\right] + 3 = 4 - (x - 1)^2$.
   2. La integral es $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x - 1)^2}}$. Fórmula: $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \operatorname{arcsen}\frac{u}{a}$.
   3. Con $u = x - 1$ y $a = 2$: $\operatorname{arcsen}\frac{x - 1}{2} + C$.
   4. El radicando es positivo exactamente cuando $|x - 1| < 2$, es decir, $-1 < x < 3$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{3 + 2x - x^2}} = \operatorname{arcsen}\frac{x - 1}{2} + C$

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6. Una identidad para simplificar 1/(1 + cos x)

   Tema

   6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Multiplicar por el conjugado e identidad pitagórica

   Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{1 + \cos x}$.

   Ver solución

   1. Multiplicamos por el conjugado $1 - \cos x$: $\frac{1 - \cos x}{1 - \cos^2 x} = \frac{1 - \cos x}{\operatorname{sen}^2 x}$.
   2. Separamos: $\frac{1}{\operatorname{sen}^2 x} - \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x} = \csc^2 x - \cot x\csc x$.
   3. Integrales inmediatas: $\int\csc^2 x\,dx = -\cot x$ y $\int\cot x\csc x\,dx = -\csc x$.
   4. Resultado: $-\cot x + \csc x + C = \frac{1 - \cos x}{\operatorname{sen} x} + C$, que también es igual a $\tan\frac{x}{2} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{1 + \cos x} = \csc x - \cot x + C = \tan\frac{x}{2} + C$

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7. Separar una racional en logaritmo y arcotangente

   Tema

   6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Separación del numerador

   Calcula $\displaystyle \int \frac{x + 2}{x^2 + 4}\,dx$.

   Ver solución

   1. Separamos el numerador: $\frac{x}{x^2 + 4} + \frac{2}{x^2 + 4}$.
   2. Primer término, con $u = x^2 + 4$ y $du = 2x\,dx$: $\int \frac{x}{x^2 + 4}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 4\right)$.
   3. Segundo término, con $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a}$ y $a = 2$: $2 \cdot \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} = \arctan\frac{x}{2}$.
   4. Resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 4\right) + \arctan\frac{x}{2} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \frac{x + 2}{x^2 + 4}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 4\right) + \arctan\frac{x}{2} + C$

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8. Arcotangente con coeficiente en x²

   Tema

   6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

   Dificultad

   Básico

   Método

   Factorización del coeficiente y fórmula del arcotangente

   Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{4 + 9x^2}$.

   Ver solución

   1. Escribimos $4 + 9x^2 = 4 + (3x)^2$. Con $u = 3x$, $du = 3\,dx$: $\frac{1}{3}\int \frac{du}{4 + u^2}$.
   2. Fórmula: $\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a}$, con $a = 2$.
   3. $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\arctan\frac{3x}{2} = \frac{1}{6}\arctan\frac{3x}{2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{4 + 9x^2} = \frac{1}{6}\arctan\frac{3x}{2} + C$

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9. Elegir la técnica: sustitución seguida de partes

   Tema

   6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Sustitución u = x² y luego integración por partes

   Calcula $\displaystyle \int x^3e^{x^2}\,dx$.

   Ver solución

   1. Análisis: $e^{x^2}$ no tiene primitiva elemental por sí sola, pero hay un factor $x$ disponible para la sustitución $u = x^2$. El $x^2$ restante se expresa con $u$.
   2. $x^3e^{x^2}\,dx = x^2 \cdot e^{x^2} \cdot x\,dx$. Con $u = x^2$, $du = 2x\,dx$: $\frac{1}{2}\int ue^{u}\,du$.
   3. Por partes: $\int ue^{u}\,du = (u - 1)e^{u}$.
   4. Resultado: $\frac{1}{2}\left(x^2 - 1\right)e^{x^2} + C$. Comprobación: la derivada es $xe^{x^2} + (x^2 - 1)xe^{x^2} = x^3e^{x^2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \int x^3e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x^2 - 1\right)e^{x^2} + C$

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10. Integral de la secante con un truco algebraico

    Tema

    6. Integrales › 6.8 Otras técnicas de integración

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Multiplicar por (sec x + tan x)/(sec x + tan x)

    Calcula $\displaystyle \int \sec x\,dx$.

    Ver solución

    1. Multiplicamos y dividimos por $\sec x + \tan x$: $\int \frac{\sec x(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x}\,dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$.
    2. El numerador es la derivada del denominador: $(\sec x + \tan x)' = \sec x\tan x + \sec^2 x$.
    3. Con $u = \sec x + \tan x$: $\int \frac{du}{u} = \ln|u|$.
    4. Resultado: $\ln|\sec x + \tan x| + C$, coherente con la derivada calculada en la sección 4.6.

    Resultado final: $\displaystyle \int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$

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