Integral definida por partesTema6. Integrales › 6.4 Integración por partesDificultadBásicoMétodoIntegración por partes con evaluación en los límites Calcula ∫1elnx dx\displaystyle \int_{1}^{e} \ln x\,dx∫1elnxdx. Ver solución Por partes, con u=lnxu = \ln xu=lnx y dv=dxdv = dxdv=dx: ∫lnx dx=xlnx−x\int \ln x\,dx = x\ln x - x∫lnxdx=xlnx−x. En una integral definida: ∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\int_a^b u\,dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v\,du∫abudv=[uv]ab−∫abvdu. Equivalentemente, se evalúa la primitiva. [xlnx−x]1e=(e⋅1−e)−(1⋅0−1)=0−(−1)=1\left[x\ln x - x\right]_{1}^{e} = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1[xlnx−x]1e=(e⋅1−e)−(1⋅0−1)=0−(−1)=1. Resultado final: ∫1elnx dx=1\displaystyle \int_{1}^{e} \ln x\,dx = 1∫1elnxdx=1