6.4 Integración por partes

1. Integración por partes con exponencial

   Tema

   6. Integrales › 6.4 Integración por partes

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Integración por partes

   Calcula la siguiente integral indefinida:

   $$\int x e^{x}\,dx$$

   Ver solución

   1. Es el producto de un polinomio por una exponencial: usamos integración por partes, $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
   2. Elegimos $u = x$ (al derivarlo se simplifica) y $dv = e^{x}\,dx$.
   3. Entonces $du = dx$ y $v = \int e^{x}\,dx = e^{x}$.
   4. Aplicamos la fórmula: $\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C$.
   5. Factorizamos: $e^{x}(x - 1) + C$. Comprobación: $\frac{d}{dx}\left[e^{x}(x - 1)\right] = e^{x}(x - 1) + e^{x} = x e^{x}$.

   Resultado final: $\displaystyle \int x e^{x}\,dx = e^{x}(x - 1) + C$

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2. Integración por partes del logaritmo natural

   Tema

   6. Integrales › 6.4 Integración por partes

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Integración por partes con dv = dx

   Calcula la siguiente integral indefinida, para $x > 0$:

   $$\int \ln x\,dx$$

   Ver solución

   1. No hay una regla directa para $\ln x$, pero podemos verla como $\ln x \cdot 1$ y usar integración por partes: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
   2. Elegimos $u = \ln x$ y $dv = dx$.
   3. Entonces $du = \frac{1}{x}\,dx$ y $v = x$.
   4. Aplicamos la fórmula: $\int \ln x\,dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x \ln x - \int 1\,dx$.
   5. Integramos: $x \ln x - x + C$. Comprobación: $\frac{d}{dx}(x \ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \ln x\,dx = x \ln x - x + C$

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3. Por partes: polinomio por coseno

   Tema

   6. Integrales › 6.4 Integración por partes

   Dificultad

   Básico

   Método

   Integración por partes con u = x

   Calcula $\displaystyle \int x\cos x\,dx$.

   Ver solución

   1. Fórmula de integración por partes: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
   2. Elegimos $u = x$, porque al derivarlo se simplifica, y $dv = \cos x\,dx$. Entonces $du = dx$ y $v = \operatorname{sen} x$.
   3. $\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x - \int \operatorname{sen} x\,dx = x\operatorname{sen} x + \cos x + C$.
   4. Comprobación: $(x\operatorname{sen} x + \cos x)' = \operatorname{sen} x + x\cos x - \operatorname{sen} x = x\cos x$.

   Resultado final: $\displaystyle \int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x + \cos x + C$

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4. Integración por partes repetida: x² eˣ

   Tema

   6. Integrales › 6.4 Integración por partes

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Integración por partes aplicada dos veces

   Calcula $\displaystyle \int x^2e^{x}\,dx$.

   Ver solución

   1. Primera vez: $u = x^2$ y $dv = e^{x}\,dx$, con $du = 2x\,dx$ y $v = e^{x}$. Entonces $\int x^2e^{x}\,dx = x^2e^{x} - 2\int xe^{x}\,dx$.
   2. Segunda vez, en $\int xe^{x}\,dx$: $u = x$ y $dv = e^{x}\,dx$, lo que da $xe^{x} - e^{x}$.
   3. Sustituimos: $x^2e^{x} - 2(xe^{x} - e^{x}) + C = e^{x}(x^2 - 2x + 2) + C$.
   4. Cada aplicación baja en uno el grado del polinomio, hasta que desaparece.

   Resultado final: $\displaystyle \int x^2e^{x}\,dx = e^{x}\left(x^2 - 2x + 2\right) + C$

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5. Por partes con logaritmo: x ln x

   Tema

   6. Integrales › 6.4 Integración por partes

   Dificultad

   Básico

   Método

   Integración por partes con u = ln x

   Calcula $\displaystyle \int x\ln x\,dx$, para $x > 0$.

   Ver solución

   1. Aquí conviene $u = \ln x$, porque su derivada es algebraica, y $dv = x\,dx$. Entonces $du = \frac{dx}{x}$ y $v = \frac{x^2}{2}$.
   2. $\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx$.
   3. $\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{4}$.
   4. Resultado: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

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6. Integral del arcotangente

   Tema

   6. Integrales › 6.4 Integración por partes

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Integración por partes con dv = dx y sustitución

   Calcula $\displaystyle \int \arctan x\,dx$.

   Ver solución

   1. Elegimos $u = \arctan x$ y $dv = dx$, con $du = \frac{dx}{1 + x^2}$ y $v = x$.
   2. $\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2}\,dx$.
   3. Para la integral restante sustituimos $w = 1 + x^2$, con $dw = 2x\,dx$: $\int \frac{x}{1 + x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(1 + x^2\right)$.
   4. Resultado: $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1 + x^2\right) + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1 + x^2\right) + C$

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7. Integración por partes cíclica: eˣ sen x

   Tema

   6. Integrales › 6.4 Integración por partes

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Integración por partes dos veces y despeje de la integral

   Calcula $\displaystyle \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx$.

   Ver solución

   1. Sea $I = \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx$. Primera vez: $u = \operatorname{sen} x$ y $dv = e^{x}\,dx$, lo que da $I = e^{x}\operatorname{sen} x - \int e^{x}\cos x\,dx$.
   2. Segunda vez, con la misma elección ($u = \cos x$, $dv = e^{x}\,dx$): $\int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\cos x + \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx = e^{x}\cos x + I$.
   3. Sustituimos: $I = e^{x}\operatorname{sen} x - e^{x}\cos x - I$. La integral original reaparece: es un ciclo.
   4. Despejamos: $2I = e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x)$, así que $I = \frac{e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x)}{2} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx = \frac{e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x)}{2} + C$

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8. Por partes repetida: x² sen x

   Tema

   6. Integrales › 6.4 Integración por partes

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Integración por partes aplicada dos veces

   Calcula $\displaystyle \int x^2\operatorname{sen} x\,dx$.

   Ver solución

   1. Primera vez: $u = x^2$ y $dv = \operatorname{sen} x\,dx$, con $du = 2x\,dx$ y $v = -\cos x$. Entonces $\int x^2\operatorname{sen} x\,dx = -x^2\cos x + 2\int x\cos x\,dx$.
   2. Segunda vez: $\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x + \cos x$.
   3. Sustituimos: $-x^2\cos x + 2x\operatorname{sen} x + 2\cos x + C$.
   4. Comprobación: la derivada es $-2x\cos x + x^2\operatorname{sen} x + 2\operatorname{sen} x + 2x\cos x - 2\operatorname{sen} x = x^2\operatorname{sen} x$.

   Resultado final: $\displaystyle \int x^2\operatorname{sen} x\,dx = -x^2\cos x + 2x\operatorname{sen} x + 2\cos x + C$

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9. Integral definida por partes

   Tema

   6. Integrales › 6.4 Integración por partes

   Dificultad

   Básico

   Método

   Integración por partes con evaluación en los límites

   Calcula $\displaystyle \int_{1}^{e} \ln x\,dx$.

   Ver solución

   1. Por partes, con $u = \ln x$ y $dv = dx$: $\int \ln x\,dx = x\ln x - x$.
   2. En una integral definida: $\int_a^b u\,dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v\,du$. Equivalentemente, se evalúa la primitiva.
   3. $\left[x\ln x - x\right]_{1}^{e} = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$.

   Resultado final: $\displaystyle \int_{1}^{e} \ln x\,dx = 1$

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10. Elección de u y dv: x sec² x

    Tema

    6. Integrales › 6.4 Integración por partes

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Integración por partes con la elección adecuada

    Calcula $\displaystyle \int x\sec^2 x\,dx$ y justifica la elección de $u$ y $dv$.

    Ver solución

    1. Opción A: $u = \sec^2 x$ y $dv = x\,dx$. La nueva integral sería $\int \frac{x^2}{2} \cdot 2\sec^2 x\tan x\,dx$, más complicada.
    2. Opción B: $u = x$ (se simplifica al derivar) y $dv = \sec^2 x\,dx$ (fácil de integrar: $v = \tan x$). Es la buena.
    3. $\int x\sec^2 x\,dx = x\tan x - \int \tan x\,dx$.
    4. Como $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|$, el resultado es $x\tan x + \ln|\cos x| + C$.

    Resultado final: $\displaystyle \int x\sec^2 x\,dx = x\tan x + \ln|\cos x| + C$

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