Sustitución con la raíz en el exponente

1. Hacemos $u = \sqrt{x}$, con $du = \frac{dx}{2\sqrt{x}}$, es decir, $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du$.
2. $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int e^{u} \cdot 2\,du = 2e^{u}$.
3. Regresamos a $x$: $2e^{\sqrt{x}} + C$.
4. Comprobación: $\left(2e^{\sqrt{x}}\right)' = 2e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$.

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = 2e^{\sqrt{x}} + C$