6.3 Integración por sustitución

1. Cambio de variable en una potencia

   Tema

   6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

   Dificultad

   Básico

   Método

   Sustitución u = x² + 1

   Calcula la siguiente integral indefinida:

   $$\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx$$

   Ver solución

   1. Observamos que $2x$ es la derivada de $x^2 + 1$. Esto sugiere el cambio de variable $u = x^2 + 1$.
   2. Diferenciamos: $du = 2x\,dx$.
   3. Sustituimos en la integral: $\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx = \int u^5\,du$.
   4. Integramos con la regla de la potencia: $\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C$.
   5. Regresamos a la variable original: $\frac{(x^2 + 1)^6}{6} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int 2x(x^2 + 1)^5\,dx = \frac{(x^2 + 1)^6}{6} + C$

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2. Integral trigonométrica básica

   Tema

   6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

   Dificultad

   Básico

   Método

   Sustitución u = 3x

   Calcula la siguiente integral indefinida:

   $$\int \operatorname{sen}(3x)\,dx$$

   Ver solución

   1. Sabemos que $\int \operatorname{sen} u\,du = -\cos u + C$. Hacemos el cambio $u = 3x$.
   2. Diferenciamos: $du = 3\,dx$, es decir, $dx = \frac{du}{3}$.
   3. Sustituimos: $\int \operatorname{sen}(3x)\,dx = \frac{1}{3} \int \operatorname{sen} u\,du$.
   4. Integramos: $\frac{1}{3}(-\cos u) + C = -\frac{\cos u}{3} + C$.
   5. Regresamos a $x$: $-\frac{\cos(3x)}{3} + C$. Comprobación: la derivada es $-\frac{1}{3} \cdot (-\operatorname{sen}(3x)) \cdot 3 = \operatorname{sen}(3x)$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + C$

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3. Cambio de variable con exponencial

   Tema

   6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Sustitución u = x²

   Calcula la siguiente integral indefinida:

   $$\int x e^{x^2}\,dx$$

   Ver solución

   1. El exponente $x^2$ tiene derivada $2x$, y en la integral aparece $x$. Hacemos el cambio $u = x^2$.
   2. Diferenciamos: $du = 2x\,dx$, es decir, $x\,dx = \frac{du}{2}$.
   3. Sustituimos: $\int x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2} \int e^{u}\,du$.
   4. Integramos, usando que $\int e^{u}\,du = e^{u} + C$: $\frac{1}{2} e^{u} + C$.
   5. Regresamos a $x$: $\frac{e^{x^2}}{2} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int x e^{x^2}\,dx = \frac{e^{x^2}}{2} + C$

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4. Sustitución en la potencia de una expresión lineal

   Tema

   6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

   Dificultad

   Básico

   Método

   Sustitución u = 2x + 3

   Calcula $\displaystyle \int (2x + 3)^7\,dx$.

   Ver solución

   1. Hacemos $u = 2x + 3$, con $du = 2\,dx$, es decir, $dx = \frac{du}{2}$.
   2. $\int (2x + 3)^7\,dx = \frac{1}{2}\int u^7\,du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^8}{8} = \frac{u^8}{16}$.
   3. Regresamos a $x$: $\frac{(2x + 3)^8}{16} + C$.
   4. Comprobación: $\left[\frac{(2x + 3)^8}{16}\right]' = \frac{8(2x + 3)^7 \cdot 2}{16} = (2x + 3)^7$.

   Resultado final: $\displaystyle \int (2x + 3)^7\,dx = \frac{(2x + 3)^8}{16} + C$

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5. Sustitución con logaritmo: ln x / x

   Tema

   6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

   Dificultad

   Básico

   Método

   Sustitución u = ln x

   Calcula $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx$, para $x > 0$.

   Ver solución

   1. Observamos que $\frac{1}{x}$ es la derivada de $\ln x$. Hacemos $u = \ln x$, con $du = \frac{dx}{x}$.
   2. $\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2}$.
   3. Regresamos a $x$: $\frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$

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6. Sustitución con seno y coseno

   Tema

   6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

   Dificultad

   Básico

   Método

   Sustitución u = sen x

   Calcula $\displaystyle \int \operatorname{sen}^3 x\cos x\,dx$.

   Ver solución

   1. $\cos x$ es la derivada de $\operatorname{sen} x$. Hacemos $u = \operatorname{sen} x$, con $du = \cos x\,dx$.
   2. $\int \operatorname{sen}^3 x\cos x\,dx = \int u^3\,du = \frac{u^4}{4}$.
   3. Regresamos a $x$: $\frac{\operatorname{sen}^4 x}{4} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \operatorname{sen}^3 x\cos x\,dx = \frac{\operatorname{sen}^4 x}{4} + C$

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7. Sustitución con un radical: x√(x + 1)

   Tema

   6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Sustitución u = x + 1 despejando x

   Calcula $\displaystyle \int x\sqrt{x + 1}\,dx$.

   Ver solución

   1. Hacemos $u = x + 1$, con $du = dx$. El factor $x$ que sobra se expresa con $u$: $x = u - 1$.
   2. $\int x\sqrt{x + 1}\,dx = \int (u - 1)u^{1/2}\,du = \int \left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du$.
   3. Integramos: $\frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}$.
   4. Regresamos a $x$: $\frac{2}{5}(x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int x\sqrt{x + 1}\,dx = \frac{2}{5}(x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} + C$

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8. Sustitución en una integral racional: u'/u

   Tema

   6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

   Dificultad

   Básico

   Método

   Sustitución u = denominador

   Calcula $\displaystyle \int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 5}\,dx$.

   Ver solución

   1. El numerador es la derivada del denominador. Hacemos $u = x^2 + x + 5$, con $du = (2x + 1)\,dx$.
   2. $\int \frac{du}{u} = \ln|u|$.
   3. Como $x^2 + x + 5 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{19}{4} > 0$, el valor absoluto no es necesario: $\ln\left(x^2 + x + 5\right) + C$.

   Resultado final: $\displaystyle \int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 5}\,dx = \ln\left(x^2 + x + 5\right) + C$

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9. Integral definida con cambio de límites

   Tema

   6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Sustitución u = sen x con cambio de límites

   Calcula $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x\,e^{\operatorname{sen} x}\,dx$.

   Ver solución

   1. Hacemos $u = \operatorname{sen} x$, con $du = \cos x\,dx$.
   2. Cambiamos los límites: si $x = 0$, $u = 0$; si $x = \frac{\pi}{2}$, $u = 1$.
   3. La integral queda $\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \left[e^{u}\right]_{0}^{1} = e - 1$.
   4. Al cambiar los límites no hace falta volver a la variable $x$.

   Resultado final: $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x\,e^{\operatorname{sen} x}\,dx = e - 1$

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10. Sustitución con la raíz en el exponente

    Tema

    6. Integrales › 6.3 Integración por sustitución

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Sustitución u = √x

    Calcula $\displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$, para $x > 0$.

    Ver solución

    1. Hacemos $u = \sqrt{x}$, con $du = \frac{dx}{2\sqrt{x}}$, es decir, $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du$.
    2. $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int e^{u} \cdot 2\,du = 2e^{u}$.
    3. Regresamos a $x$: $2e^{\sqrt{x}} + C$.
    4. Comprobación: $\left(2e^{\sqrt{x}}\right)' = 2e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$.

    Resultado final: $\displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = 2e^{\sqrt{x}} + C$

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