Integral trigonométrica básica

1. Sabemos que $\int \operatorname{sen} u\,du = -\cos u + C$. Hacemos el cambio $u = 3x$.
2. Diferenciamos: $du = 3\,dx$, es decir, $dx = \frac{du}{3}$.
3. Sustituimos: $\int \operatorname{sen}(3x)\,dx = \frac{1}{3} \int \operatorname{sen} u\,du$.
4. Integramos: $\frac{1}{3}(-\cos u) + C = -\frac{\cos u}{3} + C$.
5. Regresamos a $x$: $-\frac{\cos(3x)}{3} + C$. Comprobación: la derivada es $-\frac{1}{3} \cdot (-\operatorname{sen}(3x)) \cdot 3 = \operatorname{sen}(3x)$.

Resultado final: $\displaystyle \int \operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + C$