Cambio de variable con exponencial

1. El exponente $x^2$ tiene derivada $2x$, y en la integral aparece $x$. Hacemos el cambio $u = x^2$.
2. Diferenciamos: $du = 2x\,dx$, es decir, $x\,dx = \frac{du}{2}$.
3. Sustituimos: $\int x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2} \int e^{u}\,du$.
4. Integramos, usando que $\int e^{u}\,du = e^{u} + C$: $\frac{1}{2} e^{u} + C$.
5. Regresamos a $x$: $\frac{e^{x^2}}{2} + C$.

Resultado final: $\displaystyle \int x e^{x^2}\,dx = \frac{e^{x^2}}{2} + C$