Definición formal de límite en una función cuadrática

Tema: 2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites
Dificultad: Avanzado
Método: Definición ε-δ con acotación previa

Demuestra, usando la definición formal ( $\varepsilon$ - $\delta$ ), que:

\lim_{x \to 3} x^2 = 9

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Debemos probar que para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, si $0 < |x - 3| < \delta$ , entonces $|x^2 - 9| < \varepsilon$ .
Factorizamos: $|x^2 - 9| = |x - 3|\,|x + 3|$ . El factor $|x - 3|$ lo controla $\delta$ ; falta acotar $|x + 3|$ .
Acotación previa: si exigimos $\delta \le 1$ , entonces $|x - 3| < 1$ , es decir, $2 < x < 4$ . En ese intervalo $5 < x + 3 < 7$ , así que $|x + 3| < 7$ .
Con esa cota, $|x^2 - 9| < 7|x - 3|$ , y basta pedir $7|x - 3| < \varepsilon$ , o sea $|x - 3| < \frac{\varepsilon}{7}$ .
Elección: $\delta = \min\left\{1, \frac{\varepsilon}{7}\right\}$ . Verificación: si $0 < |x - 3| < \delta$ , se cumple $|x + 3| < 7$ (porque $\delta \le 1$ ) y $|x - 3| < \frac{\varepsilon}{7}$ , de donde $|x^2 - 9| = |x - 3|\,|x + 3| < \frac{\varepsilon}{7} \cdot 7 = \varepsilon$ .

Resultado final: Para cada $\varepsilon > 0$ basta $\delta = \min\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{7}\right\}$ ; por lo tanto $\displaystyle \lim_{x \to 3} x^2 = 9$ .