2.1 Fundamentos de límites

1. Límite por sustitución directa

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

   Dificultad

   Básico

   Método

   Sustitución directa

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 2} \left(3x^2 - 5x + 1\right)$$

   Ver solución

   1. La función $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ es un polinomio, así que es continua en todo $\mathbb{R}$. Por eso el límite se calcula sustituyendo directamente $x = 2$.
   2. Sustituimos: $3(2)^2 - 5(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 10 + 1$.
   3. Operamos: $12 - 10 + 1 = 3$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(3x^2 - 5x + 1\right) = 3$

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2. Estimación de un límite con una tabla de valores

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

   Dificultad

   Básico

   Método

   Tabla de valores y confirmación algebraica

   Estima con una tabla de valores y luego calcula de forma exacta:

   $$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$$

   Ver solución

   1. La función no está definida en $x = 2$ (el denominador se anula), pero el límite solo depende de los valores de $f(x)$ para $x$ cercano a $2$ con $x \neq 2$.

   2. Evaluamos la función a ambos lados de $2$:

      $x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
      $f(x)$	$11.41$	$11.9401$	$11.994001$	$12.006001$	$12.0601$	$12.61$

   3. Los valores se acercan a $12$ por ambos lados, lo que sugiere que el límite es $12$. Una tabla no es una prueba, así que lo confirmamos algebraicamente.

   4. Factorizamos la diferencia de cubos: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Para $x \neq 2$: $\frac{x^3 - 8}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$.

   5. El polinomio $x^2 + 2x + 4$ es continuo, así que $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12$, lo que confirma la estimación.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$

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3. Propiedades algebraicas de los límites

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

   Dificultad

   Básico

   Método

   Propiedades algebraicas de los límites

   Si $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 3$ y $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = -2$, calcula:

   $$\lim_{x \to a} \frac{2f(x) - \left[g(x)\right]^2}{f(x) + g(x)}$$

   Ver solución

   1. Como ambos límites existen y son finitos, podemos aplicar las propiedades de suma, producto, múltiplo constante y potencia.
   2. Numerador: $\displaystyle \lim_{x \to a} \left(2f(x) - [g(x)]^2\right) = 2 \lim_{x \to a} f(x) - \left[\lim_{x \to a} g(x)\right]^2 = 2(3) - (-2)^2 = 6 - 4 = 2$.
   3. Denominador: $\displaystyle \lim_{x \to a} \left(f(x) + g(x)\right) = 3 + (-2) = 1$.
   4. La propiedad del cociente exige que el límite del denominador sea distinto de cero. Como $1 \neq 0$, se cumple.
   5. Por lo tanto, el límite del cociente es el cociente de los límites: $\frac{2}{1} = 2$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{2f(x) - [g(x)]^2}{f(x) + g(x)} = 2$

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4. Sustitución directa en una función con raíz y cociente

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

   Dificultad

   Básico

   Método

   Continuidad y sustitución directa

   Calcula el siguiente límite, justificando por qué se puede sustituir directamente:

   $$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1}\,\left(x^2 - 2x\right)}{x + 2}$$

   Ver solución

   1. La función es una combinación de funciones continuas: $\sqrt{x + 1}$ es continua donde $x + 1 \ge 0$, los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$ y el cociente es continuo donde $x + 2 \neq 0$.
   2. En $x = 3$ se cumple $x + 1 = 4 > 0$ y $x + 2 = 5 \neq 0$, así que la función es continua en $x = 3$ y el límite es igual al valor de la función.
   3. Sustituimos: $\sqrt{3 + 1} = 2$ y $3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$.
   4. Por lo tanto: $\frac{2 \cdot 3}{3 + 2} = \frac{6}{5}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1}\,(x^2 - 2x)}{x + 2} = \frac{6}{5}$

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5. Un límite que no existe por oscilación

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Criterio de sucesiones

   Demuestra que el siguiente límite no existe:

   $$\lim_{x \to 0} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$$

   Ver solución

   1. Usamos el criterio de sucesiones: si $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = L$, entonces para toda sucesión $x_n \to 0$ con $x_n \neq 0$ se cumple $f(x_n) \to L$. Basta encontrar dos sucesiones que tiendan a $0$ y den límites distintos.
   2. Sea $x_n = \frac{1}{n\pi}$, con $n \in \mathbb{N}$. Se cumple $x_n \to 0$ y $x_n \neq 0$, y $\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x_n}\right) = \operatorname{sen}(n\pi) = 0$ para todo $n$. Entonces $f(x_n) \to 0$.
   3. Sea $y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$. También $y_n \to 0$ e $y_n \neq 0$, y $\operatorname{sen}\left(\frac{1}{y_n}\right) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1$ para todo $n$. Entonces $f(y_n) \to 1$.
   4. Si el límite existiera y valiera $L$, por el paso 1 tendríamos a la vez $L = 0$ y $L = 1$, lo que contradice la unicidad del límite.
   5. Por lo tanto, el límite no existe: la función oscila entre $-1$ y $1$ infinitas veces en cualquier intervalo que contenga a $0$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$ no existe.

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6. Definición formal de límite en una función lineal

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición ε-δ

   Demuestra, usando la definición formal ($\varepsilon$-$\delta$), que:

   $$\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$$

   Ver solución

   1. Debemos probar que para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, si $0 < |x - 2| < \delta$, entonces $|(3x - 1) - 5| < \varepsilon$.
   2. Análisis previo: $|(3x - 1) - 5| = |3x - 6| = 3|x - 2|$. Queremos $3|x - 2| < \varepsilon$, es decir, $|x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}$.
   3. Elección: dado $\varepsilon > 0$, tomamos $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$, que es positivo.
   4. Verificación: si $0 < |x - 2| < \delta$, entonces $|(3x - 1) - 5| = 3|x - 2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$.
   5. Como $\varepsilon > 0$ fue arbitrario, se cumple la definición.

   Resultado final: Para cada $\varepsilon > 0$ basta $\delta = \dfrac{\varepsilon}{3}$; por lo tanto $\displaystyle \lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$.

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7. Definición formal de límite en una función cuadrática

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Definición ε-δ con acotación previa

   Demuestra, usando la definición formal ($\varepsilon$-$\delta$), que:

   $$\lim_{x \to 3} x^2 = 9$$

   Ver solución

   1. Debemos probar que para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, si $0 < |x - 3| < \delta$, entonces $|x^2 - 9| < \varepsilon$.
   2. Factorizamos: $|x^2 - 9| = |x - 3|\,|x + 3|$. El factor $|x - 3|$ lo controla $\delta$; falta acotar $|x + 3|$.
   3. Acotación previa: si exigimos $\delta \le 1$, entonces $|x - 3| < 1$, es decir, $2 < x < 4$. En ese intervalo $5 < x + 3 < 7$, así que $|x + 3| < 7$.
   4. Con esa cota, $|x^2 - 9| < 7|x - 3|$, y basta pedir $7|x - 3| < \varepsilon$, o sea $|x - 3| < \frac{\varepsilon}{7}$.
   5. Elección: $\delta = \min\left\{1, \frac{\varepsilon}{7}\right\}$. Verificación: si $0 < |x - 3| < \delta$, se cumple $|x + 3| < 7$ (porque $\delta \le 1$) y $|x - 3| < \frac{\varepsilon}{7}$, de donde $|x^2 - 9| = |x - 3|\,|x + 3| < \frac{\varepsilon}{7} \cdot 7 = \varepsilon$.

   Resultado final: Para cada $\varepsilon > 0$ basta $\delta = \min\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{7}\right\}$; por lo tanto $\displaystyle \lim_{x \to 3} x^2 = 9$.

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8. El límite no depende del valor de la función en el punto

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

   Dificultad

   Básico

   Método

   Límites laterales y unicidad del límite

   Sea la función

   $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ 5, & x = 1 \\ 3 - x, & x > 1 \end{cases}$$

   Calcula $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ y compáralo con $f(1)$.

   Ver solución

   1. El límite cuando $x \to 1$ solo usa los valores de $f$ para $x$ cercano a $1$ con $x \neq 1$; el valor $f(1) = 5$ no interviene.
   2. Por la izquierda ($x < 1$): $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2$.
   3. Por la derecha ($x > 1$): $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3 - x) = 2$.
   4. Como ambos límites laterales existen y son iguales, el límite existe y es único: $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 2$.
   5. Comparación: $f(1) = 5 \neq 2$. El límite existe aunque no coincida con el valor de la función; eso indica que $f$ no es continua en $x = 1$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 2$, mientras que $f(1) = 5$.

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9. Teorema de conservación del orden

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Teorema de conservación del orden

   Sea $f$ una función tal que $f(x) \le x^2 + 1$ para todo $x$ en un intervalo abierto que contiene a $1$ (salvo quizá en $x = 1$). Si $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = L$ existe, demuestra que $L \le 2$.

   Ver solución

   1. Teorema de conservación del orden: si $f(x) \le g(x)$ para todo $x \neq a$ en un intervalo abierto que contiene a $a$, y existen $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = M$, entonces $L \le M$.
   2. Tomamos $g(x) = x^2 + 1$ y $a = 1$. La hipótesis $f(x) \le g(x)$ se cumple cerca de $1$.
   3. Calculamos el límite de $g$: es un polinomio, así que $\displaystyle \lim_{x \to 1} (x^2 + 1) = 1 + 1 = 2$.
   4. Por hipótesis, $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = L$ existe. Aplicando el teorema: $L \le 2$.
   5. Observación: el teorema conserva desigualdades no estrictas. Aunque se tuviera $f(x) < g(x)$, solo podría concluirse $L \le 2$, no $L < 2$.

   Resultado final: $L \le 2$.

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10. Teorema del encaje con cotas dadas

    Tema

    2. Límites de funciones › 2.1 Fundamentos de límites

    Dificultad

    Básico

    Método

    Teorema del encaje

    Si para todo $x$ se cumple

    $$3 - x^2 \le f(x) \le 3 + x^2,$$

    calcula $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$.

    Ver solución

    1. Teorema del encaje (o del sándwich): si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ cerca de $a$ y $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$.
    2. Tomamos $g(x) = 3 - x^2$ y $h(x) = 3 + x^2$. La desigualdad se cumple para todo $x$.
    3. Límite de la cota inferior: $\displaystyle \lim_{x \to 0} (3 - x^2) = 3$.
    4. Límite de la cota superior: $\displaystyle \lim_{x \to 0} (3 + x^2) = 3$.
    5. Como ambas cotas tienden a $3$, por el teorema del encaje $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 3$.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 3$

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