Cociente de exponenciales cuando x tiende a −∞

Calcula el siguiente límite y compáralo con el de $x \to +\infty$ de la misma función:

\lim_{x \to -\infty} \frac{3e^{x} + 2}{e^{x} - 1}

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Cuando $x \to -\infty$ , $e^{x} \to 0$ . A diferencia del caso $x \to +\infty$ , ahora no hay indeterminación.
Numerador: $3e^{x} + 2 \to 3 \cdot 0 + 2 = 2$ .
Denominador: $e^{x} - 1 \to 0 - 1 = -1$ , que es distinto de cero.
Por la propiedad del cociente: $\frac{2}{-1} = -2$ .
Comparación: cuando $x \to +\infty$ el límite es $3$ . La función tiene dos asíntotas horizontales distintas: $y = 3$ a la derecha e $y = -2$ a la izquierda.

Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{3e^{x} + 2}{e^{x} - 1} = -2$