2.7 Límites al infinito

1. Límite al infinito de un cociente de polinomios

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

   Dificultad

   Básico

   Método

   División entre la mayor potencia de x

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 2}{5x^2 + 4}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: es una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$.
   2. Dividimos numerador y denominador entre la mayor potencia del denominador, $x^2$: $$\frac{3x^2 - x + 2}{5x^2 + 4} = \frac{3 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{5 + \frac{4}{x^2}}$$
   3. Cuando $x \to \infty$, los términos $\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x^2}$ y $\frac{4}{x^2}$ tienden a $0$.
   4. Por lo tanto el límite es $\frac{3 - 0 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5}$: el cociente de los coeficientes principales, porque ambos polinomios tienen el mismo grado.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 2}{5x^2 + 4} = \frac{3}{5}$

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2. Límite al infinito con raíz: forma infinito menos infinito

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Racionalización con el conjugado

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$$

   Ver solución

   1. Ambos términos tienden a $\infty$, así que tenemos la indeterminación $\infty - \infty$.
   2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\sqrt{x^2 + 6x} + x$: $$\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 6x} + x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \frac{(x^2 + 6x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x}$$
   3. Dividimos numerador y denominador entre $x$ (para $x > 0$, $\sqrt{x^2 + 6x} = x\sqrt{1 + \frac{6}{x}}$): $$\frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \frac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{x}} + 1}$$
   4. Cuando $x \to \infty$, $\frac{6}{x} \to 0$, de modo que el límite es $\frac{6}{\sqrt{1} + 1} = \frac{6}{2} = 3$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right) = 3$

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3. Cociente con el numerador de menor grado

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

   Dificultad

   Básico

   Método

   Comparación de grados y división por la mayor potencia de x

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 3}$$

   Ver solución

   1. El numerador tiene grado $1$ y el denominador grado $2$. Para justificar el resultado, dividimos numerador y denominador entre la mayor potencia del denominador, $x^2$.
   2. Para $x \neq 0$: $\frac{2x + 1}{x^2 + 3} = \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}}$.
   3. Cuando $x \to \infty$, los términos $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ y $\frac{3}{x^2}$ tienden a $0$.
   4. El límite es $\frac{0 + 0}{1 + 0} = 0$. En general, si el grado del numerador es menor que el del denominador, el límite al infinito es $0$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 3} = 0$

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4. Numerador de mayor grado cuando x tiende a −∞

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   División por la mayor potencia del denominador y análisis del signo

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - 2x}{4x^2 + 1}$$

   Ver solución

   1. El numerador tiene grado $3$ y el denominador grado $2$, así que el cociente no tiene límite finito. Hay que determinar el signo.
   2. Dividimos entre $x^2$ (para $x \neq 0$): $\frac{x^3 - 2x}{4x^2 + 1} = \frac{x - \frac{2}{x}}{4 + \frac{1}{x^2}}$.
   3. Cuando $x \to -\infty$: el denominador $4 + \frac{1}{x^2} \to 4 > 0$ y el numerador $x - \frac{2}{x} \to -\infty$.
   4. Un numerador que tiende a $-\infty$ dividido entre una cantidad que tiende a $4 > 0$ tiende a $-\infty$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - 2x}{4x^2 + 1} = -\infty$

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5. Radical cuando x tiende a −∞

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Extracción de x del radical con √(x²) = |x|

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2x - 3}$$

   Ver solución

   1. Para sacar $x$ del radical recordamos que $\sqrt{x^2} = |x|$. Cuando $x \to -\infty$ tomamos $x < 0$, y entonces $|x| = -x$.
   2. Así, $\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$.
   3. En el denominador: $2x - 3 = x\left(2 - \frac{3}{x}\right)$.
   4. Para $x < 0$ el factor $x$ se simplifica: $\frac{-x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 - \frac{3}{x}\right)} = -\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{2 - \frac{3}{x}}$.
   5. Cuando $x \to -\infty$: $-\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$. El signo negativo proviene de $|x| = -x$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2x - 3} = -\frac{1}{2}$

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6. Diferencia de dos radicales al infinito

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Racionalización con el conjugado y división por x

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - x}\right)$$

   Ver solución

   1. Ambos radicales tienden a $\infty$: indeterminación $\infty - \infty$. Para $x > 1$ ambos radicandos son positivos.
   2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - x}$. El numerador queda $(x^2 + 3x) - (x^2 - x) = 4x$.
   3. La expresión es $\frac{4x}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - x}}$. Para $x > 0$, $\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}$ y $\sqrt{x^2 - x} = x\sqrt{1 - \frac{1}{x}}$.
   4. Simplificamos $x$: $\frac{4}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$.
   5. Cuando $x \to \infty$: $\frac{4}{1 + 1} = 2$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - x}\right) = 2$

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7. Función acotada dividida entre x

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

   Dificultad

   Básico

   Método

   Teorema del encaje

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x}$$

   Ver solución

   1. El seno no tiene límite cuando $x \to \infty$ (oscila entre $-1$ y $1$), así que no se puede aplicar la propiedad del cociente. Pero es una función acotada.
   2. Para todo $x$: $-1 \le \operatorname{sen} x \le 1$. Dividiendo entre $x > 0$ (no cambia el sentido de las desigualdades): $-\frac{1}{x} \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le \frac{1}{x}$.
   3. Las cotas cumplen $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0$ y $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.
   4. Por el teorema del encaje, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 0$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 0$

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8. Cociente de exponenciales cuando x tiende a +∞

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

   Dificultad

   Básico

   Método

   División por la exponencial dominante

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{3e^{x} + 2}{e^{x} - 1}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$. Dividimos ambos entre $e^{x}$, que es positivo: $\frac{3e^{x} + 2}{e^{x} - 1} = \frac{3 + 2e^{-x}}{1 - e^{-x}}$.
   2. Cuando $x \to \infty$, $e^{-x} \to 0$.
   3. El límite es $\frac{3 + 0}{1 - 0} = 3$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3e^{x} + 2}{e^{x} - 1} = 3$

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9. Cociente de exponenciales cuando x tiende a −∞

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Comportamiento de e^x cuando x → −∞

   Calcula el siguiente límite y compáralo con el de $x \to +\infty$ de la misma función:

   $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3e^{x} + 2}{e^{x} - 1}$$

   Ver solución

   1. Cuando $x \to -\infty$, $e^{x} \to 0$. A diferencia del caso $x \to +\infty$, ahora no hay indeterminación.
   2. Numerador: $3e^{x} + 2 \to 3 \cdot 0 + 2 = 2$.
   3. Denominador: $e^{x} - 1 \to 0 - 1 = -1$, que es distinto de cero.
   4. Por la propiedad del cociente: $\frac{2}{-1} = -2$.
   5. Comparación: cuando $x \to +\infty$ el límite es $3$. La función tiene dos asíntotas horizontales distintas: $y = 3$ a la derecha e $y = -2$ a la izquierda.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{3e^{x} + 2}{e^{x} - 1} = -2$

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10. Logaritmos al infinito con propiedades

    Tema

    2. Límites de funciones › 2.7 Límites al infinito

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Propiedades del logaritmo y continuidad

    Calcula el siguiente límite:

    $$\lim_{x \to \infty} \left[\ln(x^2 + 1) - 2\ln x\right]$$

    Ver solución

    1. Ambos términos tienden a $\infty$: indeterminación $\infty - \infty$. Para $x > 0$ todo está definido.
    2. Por las propiedades del logaritmo, $2\ln x = \ln(x^2)$, así que la expresión es $\ln(x^2 + 1) - \ln(x^2) = \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x^2}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$.
    3. Cuando $x \to \infty$, $1 + \frac{1}{x^2} \to 1$.
    4. Por la continuidad del logaritmo en $1$: $\ln 1 = 0$.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[\ln(x^2 + 1) - 2\ln x\right] = 0$

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