Función acotada dividida entre x

1. El seno no tiene límite cuando $x \to \infty$ (oscila entre $-1$ y $1$), así que no se puede aplicar la propiedad del cociente. Pero es una función acotada.
2. Para todo $x$: $-1 \le \operatorname{sen} x \le 1$. Dividiendo entre $x > 0$ (no cambia el sentido de las desigualdades): $-\frac{1}{x} \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le \frac{1}{x}$.
3. Las cotas cumplen $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0$ y $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.
4. Por el teorema del encaje, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 0$.

Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 0$