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Ejercicios de Cálculo
← 2.7 Límites al infinito

Radical cuando x tiende a −∞

Tema
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Dificultad
Intermedio
Método
Extracción de x del radical con √(x²) = |x|

Calcula el siguiente límite:

lim⁡x→−∞x2+12x−3\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2x - 3}
Ver solución
  1. Para sacar xx del radical recordamos que x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|. Cuando x→−∞x \to -\infty tomamos x<0x < 0, y entonces ∣x∣=−x|x| = -x.
  2. Así, x2+1=x2(1+1x2)=∣x∣1+1x2=−x1+1x2\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}.
  3. En el denominador: 2x−3=x(2−3x)2x - 3 = x\left(2 - \frac{3}{x}\right).
  4. Para x<0x < 0 el factor xx se simplifica: −x1+1x2x(2−3x)=−1+1x22−3x\frac{-x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 - \frac{3}{x}\right)} = -\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{2 - \frac{3}{x}}.
  5. Cuando x→−∞x \to -\infty: −1+02−0=−12-\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 - 0} = -\frac{1}{2}. El signo negativo proviene de ∣x∣=−x|x| = -x.

Resultado final: lim⁡x→−∞x2+12x−3=−12\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2x - 3} = -\frac{1}{2}