¿Asíntota vertical o hueco?

Tema: 2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos
Dificultad: Intermedio
Método: Factorización y límites laterales en cada discontinuidad

Sea

f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - x - 2}

Determina el comportamiento de $f$ cerca de cada valor donde se anula el denominador.

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Factorizamos el denominador: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ . Se anula en $x = 2$ y en $x = -1$ , que no pertenecen al dominio.
En $x = -1$ : para $x \neq -1$ , $f(x) = \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{1}{x - 2}$ . Entonces $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x) = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$ . El límite es finito: hay un hueco en $\left(-1, -\frac{1}{3}\right)$ , no una asíntota.
En $x = 2$ : cerca de $2$ , $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ , de la forma $\frac{1}{0}$ .
Por la derecha ( $x - 2 > 0$ ): $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ . Por la izquierda ( $x - 2 < 0$ ): $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ .
Conclusión: $x = 2$ es asíntota vertical; en $x = -1$ la discontinuidad es removible.

Resultado final: Asíntota vertical en $x = 2$ , con $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ ; hueco en $x = -1$ , con $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x) = -\frac{1}{3}$ .