2.8 Límites infinitos

1. Definición formal de un límite infinito

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición M-δ de límite infinito

   Demuestra, usando la definición formal, que:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$$

   Ver solución

   1. Definición: $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ significa que para todo $M > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, si $0 < |x - a| < \delta$, entonces $f(x) > M$.
   2. Análisis previo: queremos $\frac{1}{x^2} > M$. Como $x^2 > 0$ para $x \neq 0$, esto equivale a $x^2 < \frac{1}{M}$, es decir, $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}}$.
   3. Elección: dado $M > 0$, tomamos $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}} > 0$.
   4. Verificación: si $0 < |x| < \delta$, entonces $0 < x^2 < \delta^2 = \frac{1}{M}$, y al tomar recíprocos (cantidades positivas) $\frac{1}{x^2} > M$.
   5. Como $M > 0$ fue arbitrario, se cumple la definición.

   Resultado final: Para cada $M > 0$ basta $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{M}}$; por lo tanto $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$.

   Abrir este ejercicio en su propia página

2. Límites laterales infinitos con diferencia de cuadrados

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

   Dificultad

   Básico

   Método

   Análisis del signo de cada factor del denominador

   Calcula los límites laterales en $x = 2$ de

   $$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 2$: numerador $5 \neq 0$ y denominador $0$. Es de la forma $\frac{5}{0}$, así que los límites laterales son infinitos. El signo lo da el denominador.
   2. Factorizamos: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Cerca de $x = 2$, el factor $x + 2$ tiende a $4 > 0$.
   3. Por la derecha ($x > 2$): $x - 2 > 0$, así que el denominador tiende a $0$ con valores positivos. Entonces $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.
   4. Por la izquierda ($x < 2$): $x - 2 < 0$, así que el denominador tiende a $0$ con valores negativos. Entonces $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$

   Abrir este ejercicio en su propia página

3. Numerador negativo sobre un cuadrado que se anula

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

   Dificultad

   Básico

   Método

   Análisis del signo

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 3} \frac{x - 5}{(x - 3)^2}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 3$: numerador $3 - 5 = -2$ y denominador $0$. Es de la forma $\frac{-2}{0}$: el límite es infinito.
   2. El denominador $(x - 3)^2$ es positivo para todo $x \neq 3$, por ambos lados, y tiende a $0$.
   3. El numerador tiende a $-2 < 0$. Un número negativo dividido entre una cantidad positiva que tiende a $0$ es negativo y crece en valor absoluto sin cota.
   4. Por los dos lados se obtiene $-\infty$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 5}{(x - 3)^2} = -\infty$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 5}{(x - 3)^2} = -\infty$

   Abrir este ejercicio en su propia página

4. Signo del denominador 1 − x²

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Análisis del signo de cada factor del denominador

   Calcula los límites laterales en $x = 1$ de

   $$f(x) = \frac{x}{1 - x^2}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 1$: numerador $1$ y denominador $0$. Los límites laterales son infinitos.
   2. Factorizamos: $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$. Cerca de $x = 1$, $1 + x \to 2 > 0$ y el numerador tiende a $1 > 0$.
   3. Por la izquierda ($x < 1$): $1 - x > 0$, así que el denominador es positivo y tiende a $0$: $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$.
   4. Por la derecha ($x > 1$): $1 - x < 0$, así que el denominador es negativo y tiende a $0$: $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.
   5. Cuidado con el orden de los factores: aquí el factor es $1 - x$, no $x - 1$, y su signo es el opuesto.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{x}{1 - x^2} = +\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{1 - x^2} = -\infty$

   Abrir este ejercicio en su propia página

5. ¿Asíntota vertical o hueco?

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Factorización y límites laterales en cada discontinuidad

   Sea

   $$f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - x - 2}$$

   Determina el comportamiento de $f$ cerca de cada valor donde se anula el denominador.

   Ver solución

   1. Factorizamos el denominador: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$. Se anula en $x = 2$ y en $x = -1$, que no pertenecen al dominio.
   2. En $x = -1$: para $x \neq -1$, $f(x) = \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{1}{x - 2}$. Entonces $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x) = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$. El límite es finito: hay un hueco en $\left(-1, -\frac{1}{3}\right)$, no una asíntota.
   3. En $x = 2$: cerca de $2$, $f(x) = \frac{1}{x - 2}$, de la forma $\frac{1}{0}$.
   4. Por la derecha ($x - 2 > 0$): $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$. Por la izquierda ($x - 2 < 0$): $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$.
   5. Conclusión: $x = 2$ es asíntota vertical; en $x = -1$ la discontinuidad es removible.

   Resultado final: Asíntota vertical en $x = 2$, con $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$; hueco en $x = -1$, con $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x) = -\frac{1}{3}$.

   Abrir este ejercicio en su propia página

6. Logaritmo entre x cerca de cero por la derecha

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Producto de límites infinitos

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x}$$

   Ver solución

   1. El logaritmo solo está definido para $x > 0$, por eso el límite se toma por la derecha.
   2. Escribimos la expresión como un producto: $\frac{\ln x}{x} = \ln x \cdot \frac{1}{x}$.
   3. Cuando $x \to 0^+$: $\ln x \to -\infty$ y $\frac{1}{x} \to +\infty$.
   4. El producto de una cantidad que tiende a $-\infty$ por otra que tiende a $+\infty$ tiende a $-\infty$. No es una indeterminación: ambos factores crecen en valor absoluto y el signo del producto es negativo.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty$

   Abrir este ejercicio en su propia página

7. La tangente cerca de π/2

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Análisis del signo del coseno

   Calcula los límites laterales en $x = \frac{\pi}{2}$ de

   $$f(x) = \tan x$$

   Ver solución

   1. Escribimos $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$. En $x = \frac{\pi}{2}$: $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1$ y $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. Es de la forma $\frac{1}{0}$.
   2. Por la izquierda ($0 < x < \frac{\pi}{2}$, primer cuadrante): $\cos x > 0$ y tiende a $0$, y $\operatorname{sen} x \to 1$. Entonces $\displaystyle \lim_{x \to \pi/2^-} \tan x = +\infty$.
   3. Por la derecha ($\frac{\pi}{2} < x < \pi$, segundo cuadrante): $\cos x < 0$ y tiende a $0$, y $\operatorname{sen} x \to 1$. Entonces $\displaystyle \lim_{x \to \pi/2^+} \tan x = -\infty$.
   4. La recta $x = \frac{\pi}{2}$ es una asíntota vertical de la tangente.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \pi/2^-} \tan x = +\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to \pi/2^+} \tan x = -\infty$

   Abrir este ejercicio en su propia página

8. Radical que se anula en el denominador

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

   Dificultad

   Básico

   Método

   Análisis del dominio y del signo

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$

   Ver solución

   1. Dominio: el denominador exige $x^2 - 1 > 0$, es decir, $|x| > 1$. Cerca de $1$ la función solo existe para $x > 1$, por eso el límite es por la derecha.
   2. Cuando $x \to 1^+$: el numerador tiende a $2 > 0$.
   3. El denominador $\sqrt{x^2 - 1}$ es positivo y tiende a $0$, porque $x^2 - 1 \to 0^+$.
   4. Un número positivo entre una cantidad positiva que tiende a $0$ crece sin cota: el límite es $+\infty$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 1}} = +\infty$

   Abrir este ejercicio en su propia página

9. Comportamiento alrededor de dos asíntotas verticales

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Análisis del signo de cada factor del denominador

   Sea

   $$f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$$

   Calcula los cuatro límites laterales en $x = 3$ y en $x = -3$.

   Ver solución

   1. El denominador es $(x - 3)(x + 3)$ y se anula en $x = \pm 3$. En ambos puntos el numerador vale $2 \cdot 9 = 18 > 0$, así que los límites laterales son infinitos y el signo lo da el denominador.
   2. Cerca de $x = 3$: $x + 3 \to 6 > 0$. Si $x \to 3^+$, $x - 3 > 0$ y el denominador es positivo: $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$. Si $x \to 3^-$, $x - 3 < 0$: $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$.
   3. Cerca de $x = -3$: $x - 3 \to -6 < 0$. Si $x \to -3^+$, $x + 3 > 0$ y el denominador es negativo: $\displaystyle \lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty$.
   4. Si $x \to -3^-$, $x + 3 < 0$ y el denominador es positivo (producto de dos negativos): $\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty$.
   5. Las rectas $x = 3$ y $x = -3$ son asíntotas verticales. La función es par, y por eso los comportamientos en $3$ y en $-3$ son simétricos.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f = -\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f = +\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f = +\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to -3^+} f = -\infty$

   Abrir este ejercicio en su propia página

10. Diferencia de dos fracciones que crecen sin cota

    Tema

    2. Límites de funciones › 2.8 Límites infinitos

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Suma de fracciones y análisis del signo

    Calcula el siguiente límite:

    $$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right)$$

    Ver solución

    1. Por la derecha, $\frac{1}{x} \to +\infty$ y $\frac{1}{x^2} \to +\infty$: hay una forma $\infty - \infty$ que hay que transformar.
    2. Restamos las fracciones con denominador común $x^2$: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2}$.
    3. Cuando $x \to 0$: el numerador tiende a $-1 < 0$ y el denominador $x^2$ es positivo y tiende a $0$, por ambos lados.
    4. Un número negativo dividido entre una cantidad positiva que tiende a $0$ tiende a $-\infty$, por ambos lados.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right) = -\infty$

    Abrir este ejercicio en su propia página