Límites laterales distintos en una función por partes

Tema: 2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales
Dificultad: Básico
Método: Cálculo de límites laterales

Sea

f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 2 \\ x^2 - 1, & x \ge 2 \end{cases}

Calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ .

Ver solución

A la izquierda de $2$ ( $x < 2$ ) la función es $f(x) = 2x + 1$ , un polinomio: $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) + 1 = 5$ .
A la derecha de $2$ ( $x > 2$ ) la función es $f(x) = x^2 - 1$ : $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 - 1 = 3$ .
El límite bilateral existe si y solo si los dos límites laterales existen y son iguales.
Como $5 \neq 3$ , el límite bilateral no existe. La gráfica presenta un salto en $x = 2$ .

Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = 5$ , $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3$ ; $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ no existe.