2.2 Límites laterales

1. Límites laterales con valor absoluto

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Cálculo de límites laterales

   Determina si existe el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$$

   Ver solución

   1. Por definición, $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x < 0$. Como la definición cambia en $x = 0$, calculamos los límites laterales.
   2. Por la derecha ($x \to 0^+$, $x > 0$): $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$.
   3. Por la izquierda ($x \to 0^-$, $x < 0$): $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$.
   4. Un límite existe solo si los dos límites laterales son iguales. Como $-1 \neq 1$, el límite no existe.

   Resultado final: El límite no existe: $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$ y $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$

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2. Límites laterales distintos en una función por partes

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Cálculo de límites laterales

   Sea

   $$f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 2 \\ x^2 - 1, & x \ge 2 \end{cases}$$

   Calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$.

   Ver solución

   1. A la izquierda de $2$ ($x < 2$) la función es $f(x) = 2x + 1$, un polinomio: $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) + 1 = 5$.
   2. A la derecha de $2$ ($x > 2$) la función es $f(x) = x^2 - 1$: $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 - 1 = 3$.
   3. El límite bilateral existe si y solo si los dos límites laterales existen y son iguales.
   4. Como $5 \neq 3$, el límite bilateral no existe. La gráfica presenta un salto en $x = 2$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = 5$, $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3$; $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ no existe.

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3. Límite bilateral de una función por partes que empalma

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Igualdad de límites laterales

   Sea

   $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & x < 3 \\ 2x - 1, & x \ge 3 \end{cases}$$

   Determina si existe $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$ y, si existe, calcúlalo.

   Ver solución

   1. Por la izquierda ($x < 3$): $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} (x^2 - 4) = 9 - 4 = 5$.
   2. Por la derecha ($x > 3$): $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} (2x - 1) = 6 - 1 = 5$.
   3. Los dos límites laterales existen y son iguales a $5$.
   4. Por el criterio de los límites laterales, el límite bilateral existe y vale $5$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = 5$

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4. Valor absoluto en un cociente racional

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición del valor absoluto y límites laterales

   Determina si existe el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x^2 - 9}$$

   Ver solución

   1. El valor absoluto cambia de expresión en $x = 3$: $|x - 3| = x - 3$ si $x \ge 3$ y $|x - 3| = -(x - 3)$ si $x < 3$. Por eso calculamos los límites laterales.
   2. Factorizamos el denominador: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
   3. Por la derecha ($x > 3$): $\frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3}$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \frac{|x - 3|}{x^2 - 9} = \frac{1}{6}$.
   4. Por la izquierda ($x < 3$, cerca de $3$): $\frac{-(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = -\frac{1}{x + 3}$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{|x - 3|}{x^2 - 9} = -\frac{1}{6}$.
   5. Como $\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{6}$, el límite bilateral no existe.

   Resultado final: El límite no existe: por la izquierda vale $-\dfrac{1}{6}$ y por la derecha $\dfrac{1}{6}$.

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5. Límites laterales con la función máximo entero

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición del máximo entero en cada lado

   Sea $\lfloor x \rfloor$ el máximo entero menor o igual que $x$. Calcula los límites laterales en $x = 2$ de

   $$f(x) = x - \lfloor x \rfloor$$

   y determina si existe $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$.

   Ver solución

   1. El máximo entero es constante en cada intervalo $[n, n + 1)$ con $n$ entero, y salta en cada entero. Por eso en $x = 2$ hay que estudiar los dos lados.
   2. Por la izquierda: si $1 \le x < 2$, entonces $\lfloor x \rfloor = 1$ y $f(x) = x - 1$. Así, $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 - 1 = 1$.
   3. Por la derecha: si $2 \le x < 3$, entonces $\lfloor x \rfloor = 2$ y $f(x) = x - 2$. Así, $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 - 2 = 0$.
   4. Como $1 \neq 0$, el límite bilateral no existe.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$, $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 0$; el límite en $x = 2$ no existe.

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6. Límites laterales infinitos de una función racional

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Análisis del signo

   Calcula los límites laterales en $x = 1$ de

   $$f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 1$ el numerador vale $3 \neq 0$ y el denominador $0$: la expresión es del tipo $\frac{3}{0}$, así que los límites laterales son infinitos y su signo depende del signo del denominador.
   2. Por la derecha ($x \to 1^+$): $x - 1 > 0$ y tiende a $0$; el numerador tiende a $3 > 0$. El cociente es positivo y crece sin cota: $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$.
   3. Por la izquierda ($x \to 1^-$): $x - 1 < 0$ y tiende a $0$; el numerador tiende a $3 > 0$. El cociente es negativo y decrece sin cota: $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$.
   4. Los límites laterales son distintos, así que $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ no existe; la recta $x = 1$ es una asíntota vertical.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{x + 2}{x - 1} = -\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x + 2}{x - 1} = +\infty$

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7. Límite lateral con raíz en el borde del dominio

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Análisis del dominio y simplificación de radicales

   Calcula el siguiente límite y explica por qué solo tiene sentido por la derecha:

   $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$

   Ver solución

   1. Dominio: $\sqrt{x^2 - 1}$ exige $x^2 - 1 \ge 0$ y, por estar en el denominador, $x^2 - 1 > 0$; es decir, $|x| > 1$. Cerca de $x = 1$ la función solo está definida para $x > 1$, así que el límite por la izquierda no tiene sentido.
   2. Para $x > 1$ se cumple $x - 1 > 0$ y $x + 1 > 0$, de modo que podemos escribir $x - 1 = \sqrt{x - 1}\,\sqrt{x - 1}$ y $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{x - 1}\,\sqrt{x + 1}$.
   3. Simplificamos: $\frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x - 1}\,\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}\,\sqrt{x + 1}} = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}}$.
   4. Esta expresión es continua por la derecha en $x = 1$: $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 1}} = 0$

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8. Parámetro para que exista el límite bilateral

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Igualación de límites laterales

   Halla el valor de $a$ para que exista $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$, donde

   $$f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 1 \\ 2x^2 - a, & x > 1 \end{cases}$$

   y calcula el valor del límite.

   Ver solución

   1. El límite bilateral existe si y solo si los límites laterales existen y son iguales.
   2. Por la izquierda: $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} (ax + 3) = a + 3$.
   3. Por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (2x^2 - a) = 2 - a$.
   4. Igualamos: $a + 3 = 2 - a$, de donde $2a = -1$ y $a = -\frac{1}{2}$.
   5. Con ese valor, ambos límites laterales valen $-\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$. Comprobación por la derecha: $2 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{2}$.

   Resultado final: $a = -\dfrac{1}{2}$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{5}{2}$

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9. Límites laterales con una exponencial de 1/x

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Comportamiento lateral de e^(1/x)

   Calcula los límites laterales en $x = 0$ de

   $$f(x) = \frac{1}{1 + e^{1/x}}$$

   y determina si existe $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$.

   Ver solución

   1. Todo depende del exponente $\frac{1}{x}$, cuyo signo cambia en $x = 0$.
   2. Por la derecha ($x \to 0^+$): $\frac{1}{x} \to +\infty$, y como $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} e^{t} = +\infty$, el denominador $1 + e^{1/x} \to +\infty$. Entonces $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$.
   3. Por la izquierda ($x \to 0^-$): $\frac{1}{x} \to -\infty$, y como $\displaystyle \lim_{t \to -\infty} e^{t} = 0$, el denominador $1 + e^{1/x} \to 1$. Entonces $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{1} = 1$.
   4. Como $0 \neq 1$, el límite bilateral no existe.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$, $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$; el límite en $x = 0$ no existe.

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10. Límites laterales infinitos con potencia par

    Tema

    2. Límites de funciones › 2.2 Límites laterales

    Dificultad

    Básico

    Método

    Análisis del signo

    Calcula los límites laterales en $x = -3$ de

    $$f(x) = \frac{2}{(x + 3)^2}$$

    Ver solución

    1. Al sustituir $x = -3$ obtenemos $\frac{2}{0}$: el numerador es positivo y el denominador tiende a $0$, así que los límites laterales son infinitos.
    2. El denominador $(x + 3)^2$ es positivo para todo $x \neq -3$, tanto por la izquierda como por la derecha, porque es un cuadrado.
    3. Por la derecha y por la izquierda, $\frac{2}{(x + 3)^2}$ es positivo y crece sin cota: $\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty$.
    4. Como ambos lados tienden a $+\infty$, se escribe $\displaystyle \lim_{x \to -3} f(x) = +\infty$. El límite no es un número real; la notación describe que la función crece sin cota, y $x = -3$ es una asíntota vertical.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to -3^-} \frac{2}{(x + 3)^2} = \lim_{x \to -3^+} \frac{2}{(x + 3)^2} = +\infty$

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