Límites laterales con una exponencial de 1/x

Calcula los límites laterales en $x = 0$ de

f(x) = \frac{1}{1 + e^{1/x}}

y determina si existe $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ .

Ver solución

Todo depende del exponente $\frac{1}{x}$ , cuyo signo cambia en $x = 0$ .
Por la derecha ( $x \to 0^+$ ): $\frac{1}{x} \to +\infty$ , y como $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} e^{t} = +\infty$ , el denominador $1 + e^{1/x} \to +\infty$ . Entonces $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ .
Por la izquierda ( $x \to 0^-$ ): $\frac{1}{x} \to -\infty$ , y como $\displaystyle \lim_{t \to -\infty} e^{t} = 0$ , el denominador $1 + e^{1/x} \to 1$ . Entonces $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{1} = 1$ .
Como $0 \neq 1$ , el límite bilateral no existe.

Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$ , $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ ; el límite en $x = 0$ no existe.