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Ejercicios de Cálculo
← 2.2 Límites laterales

Parámetro para que exista el límite bilateral

Tema
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Dificultad
Intermedio
Método
Igualación de límites laterales

Halla el valor de aa para que exista lim⁡x→1f(x)\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x), donde

f(x)={ax+3,x<12x2−a,x>1f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 1 \\ 2x^2 - a, & x > 1 \end{cases}

y calcula el valor del límite.

Ver solución
  1. El límite bilateral existe si y solo si los límites laterales existen y son iguales.
  2. Por la izquierda: lim⁡x→1−(ax+3)=a+3\displaystyle \lim_{x \to 1^-} (ax + 3) = a + 3.
  3. Por la derecha: lim⁡x→1+(2x2−a)=2−a\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (2x^2 - a) = 2 - a.
  4. Igualamos: a+3=2−aa + 3 = 2 - a, de donde 2a=−12a = -1 y a=−12a = -\frac{1}{2}.
  5. Con ese valor, ambos límites laterales valen −12+3=52-\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}. Comprobación por la derecha: 2−(−12)=522 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{2}.

Resultado final: a=−12a = -\dfrac{1}{2} y lim⁡x→1f(x)=52\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{5}{2}