Conservación del orden: lo que no se conserva

Tema: 2. Límites de funciones › 2.10 Teoremas y aplicaciones de límites
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema de conservación del orden y contraejemplo

Sea $f$ tal que $f(x) > 0$ para todo $x \neq 2$ en un intervalo abierto que contiene a $2$ , y supongamos que $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = L$ existe.

a) Demuestra que $L \ge 0$ .

b) Muestra con un ejemplo que no se puede asegurar $L > 0$ .

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Teorema de conservación del orden: si $g(x) \le f(x)$ cerca de $a$ (salvo quizá en $a$ ) y ambos límites existen, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \le \lim_{x \to a} f(x)$ .
a) Tomamos $g(x) = 0$ . Como $f(x) > 0 \ge 0 = g(x)$ cerca de $2$ , el teorema da $0 \le L$ .
b) Consideramos $f(x) = (x - 2)^2$ . Para $x \neq 2$ se cumple $f(x) > 0$ , así que satisface la hipótesis.
Sin embargo, $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x - 2)^2 = 0$ , que no es mayor que $0$ .
Conclusión: el paso al límite conserva las desigualdades no estrictas, pero una desigualdad estricta $f(x) > 0$ solo garantiza $L \ge 0$ .

Resultado final: a) $L \ge 0$ . b) $f(x) = (x - 2)^2$ es positiva para $x \neq 2$ y su límite en $2$ es $0$ .