Hallar δ para un ε dado

Se sabe que $\displaystyle \lim_{x \to 4} \sqrt{x} = 2$ . Halla un $\delta > 0$ tal que

0 < |x - 4| < \delta \implies \left|\sqrt{x} - 2\right| < 0.1

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Relacionamos $|\sqrt{x} - 2|$ con $|x - 4|$ racionalizando: para $x \ge 0$ , $\sqrt{x} - 2 = \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}$ .
Como $\sqrt{x} \ge 0$ , se cumple $\sqrt{x} + 2 \ge 2$ , y por lo tanto $\left|\sqrt{x} - 2\right| = \frac{|x - 4|}{\sqrt{x} + 2} \le \frac{|x - 4|}{2}$ .
Basta pedir $\frac{|x - 4|}{2} < 0.1$ , es decir, $|x - 4| < 0.2$ . Tomamos $\delta = 0.2$ .
Verificación del dominio: si $|x - 4| < 0.2$ , entonces $3.8 < x < 4.2$ , así que $x > 0$ y $\sqrt{x}$ está definida.
Así, si $0 < |x - 4| < 0.2$ : $\left|\sqrt{x} - 2\right| \le \frac{|x - 4|}{2} < \frac{0.2}{2} = 0.1$ . Cualquier $\delta$ positivo menor que $0.2$ también sirve.

Resultado final: $\delta = 0.2$ (o cualquier valor $0 < \delta \le 0.2$ ).