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Ejercicios de Cálculo
← 2.10 Teoremas y aplicaciones de límites

Existencia de una raíz con límites y Bolzano

Tema
2. Límites de funciones › 2.10 Teoremas y aplicaciones de límites
Dificultad
Intermedio
Método
Continuidad mediante límites y teorema de Bolzano

Demuestra que la ecuación

x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0

tiene al menos una solución en el intervalo (0,1)(0, 1) y localízala en un intervalo de longitud 14\frac{1}{4}.

Ver solución
  1. Sea f(x)=x3+x−1f(x) = x^3 + x - 1. Para todo aa, lim⁡x→af(x)=a3+a−1=f(a)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = a^3 + a - 1 = f(a) (límite de un polinomio), así que ff es continua en [0,1][0, 1].
  2. Teorema de Bolzano: si ff es continua en [a,b][a, b] y f(a)f(a) y f(b)f(b) tienen signos opuestos, existe c∈(a,b)c \in (a, b) con f(c)=0f(c) = 0.
  3. Evaluamos: f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0 y f(1)=1+1−1=1>0f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0. Hay al menos una raíz en (0,1)(0, 1).
  4. Bisección: f(0.5)=0.125+0.5−1=−0.375<0f(0.5) = 0.125 + 0.5 - 1 = -0.375 < 0, así que la raíz está en (0.5,1)(0.5, 1). Luego f(0.75)=0.421875+0.75−1=0.171875>0f(0.75) = 0.421875 + 0.75 - 1 = 0.171875 > 0, así que está en (0.5,0.75)(0.5, 0.75).
  5. El intervalo (0.5,0.75)(0.5, 0.75) tiene longitud 14\frac{1}{4}.

Resultado final: La ecuación tiene una raíz en (0,1)(0, 1); más precisamente, en (0.5, 0.75)(0.5,\ 0.75).