Demostración de la unicidad del límite

Demuestra que si $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = M$ , entonces $L = M$ .

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Supongamos, por el absurdo, que $L \neq M$ . Tomamos $\varepsilon = \frac{|L - M|}{2} > 0$ .
Como $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ , existe $\delta_1 > 0$ tal que $0 < |x - a| < \delta_1$ implica $|f(x) - L| < \varepsilon$ .
Como $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = M$ , existe $\delta_2 > 0$ tal que $0 < |x - a| < \delta_2$ implica $|f(x) - M| < \varepsilon$ .
Tomamos un $x$ con $0 < |x - a| < \min\{\delta_1, \delta_2\}$ . Por la desigualdad triangular: $|L - M| \le |L - f(x)| + |f(x) - M| < \varepsilon + \varepsilon = |L - M|$ .
Obtuvimos $|L - M| < |L - M|$ , lo cual es imposible. La suposición era falsa, así que $L = M$ .

Resultado final: El límite de una función en un punto, si existe, es único: $L = M$ .