6.6 Sustitución trigonométrica: ejercicios resueltos

Integral de √(4 − x²) con x = 2 sen θ

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Intermedio
Método: Sustitución x = a sen θ

Calcula $\displaystyle \int \sqrt{4 - x^2}\,dx$ , para $|x| \le 2$ .

Ver solución

Para $\sqrt{a^2 - x^2}$ se usa $x = a\operatorname{sen}\theta$ con $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ . Aquí $x = 2\operatorname{sen}\theta$ , $dx = 2\cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$ (con $\cos\theta \ge 0$ ).
$\int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\,d\theta = 4\int\cos^2\theta\,d\theta = 2\int\left(1 + \cos 2\theta\right)d\theta = 2\theta + \operatorname{sen} 2\theta$ .
Regreso a $x$ con el triángulo de referencia: $\operatorname{sen}\theta = \frac{x}{2}$ , $\cos\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$ y $\operatorname{sen} 2\theta = 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta = \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2}$ .
Resultado: $2\operatorname{arcsen}\frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C$ .

Resultado final: $\displaystyle \int \sqrt{4 - x^2}\,dx = 2\operatorname{arcsen}\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + C$

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Integral de 1/(x²√(9 − x²))

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Intermedio
Método: Sustitución x = 3 sen θ y triángulo de referencia

Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2\sqrt{9 - x^2}}$ , para $0 < |x| < 3$ .

Ver solución

$x = 3\operatorname{sen}\theta$ , $dx = 3\cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta$ .
$\int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{9\operatorname{sen}^2\theta \cdot 3\cos\theta} = \frac{1}{9}\int\csc^2\theta\,d\theta = -\frac{1}{9}\cot\theta$ .
Triángulo de referencia: cateto opuesto $x$ , hipotenusa $3$ , cateto adyacente $\sqrt{9 - x^2}$ . Entonces $\cot\theta = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$ .
Resultado: $-\frac{\sqrt{9 - x^2}}{9x} + C$ .

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2\sqrt{9 - x^2}} = -\frac{\sqrt{9 - x^2}}{9x} + C$

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Integral de 1/√(x² + 4) con x = 2 tan θ

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Intermedio
Método: Sustitución x = a tan θ

Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 4}}$ .

Ver solución

Para $\sqrt{x^2 + a^2}$ se usa $x = a\tan\theta$ con $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ . Aquí $x = 2\tan\theta$ , $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$ y $\sqrt{x^2 + 4} = 2\sec\theta$ .
$\int \frac{2\sec^2\theta}{2\sec\theta}\,d\theta = \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|$ .
Regreso: $\tan\theta = \frac{x}{2}$ y $\sec\theta = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2}$ , así que $\ln\left|\frac{x + \sqrt{x^2 + 4}}{2}\right|$ .
Como $-\ln 2$ es constante, se absorbe en $C$ : $\ln\left(x + \sqrt{x^2 + 4}\right) + C$ (el argumento es siempre positivo).

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 4}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 4}\right) + C$

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Integral de 1/(x² + 9)^(3/2)

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Intermedio
Método: Sustitución x = 3 tan θ

Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{\left(x^2 + 9\right)^{3/2}}$ .

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$x = 3\tan\theta$ , $dx = 3\sec^2\theta\,d\theta$ y $\left(x^2 + 9\right)^{3/2} = (9\sec^2\theta)^{3/2} = 27\sec^3\theta$ .
$\int \frac{3\sec^2\theta}{27\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{9}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{9}\operatorname{sen}\theta$ .
Triángulo: cateto opuesto $x$ , cateto adyacente $3$ , hipotenusa $\sqrt{x^2 + 9}$ . Entonces $\operatorname{sen}\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ .
Resultado: $\frac{x}{9\sqrt{x^2 + 9}} + C$ .

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{\left(x^2 + 9\right)^{3/2}} = \frac{x}{9\sqrt{x^2 + 9}} + C$

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Integral de 1/√(x² − 9) con x = 3 sec θ

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Intermedio
Método: Sustitución x = a sec θ

Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 9}}$ , para $x > 3$ .

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Para $\sqrt{x^2 - a^2}$ se usa $x = a\sec\theta$ . Con $x > 3$ tomamos $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ : $x = 3\sec\theta$ , $dx = 3\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ y $\sqrt{x^2 - 9} = 3\tan\theta$ (con $\tan\theta > 0$ ).
$\int \frac{3\sec\theta\tan\theta}{3\tan\theta}\,d\theta = \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|$ .
Regreso: $\sec\theta = \frac{x}{3}$ y $\tan\theta = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{3}$ , así que $\ln\left|\frac{x + \sqrt{x^2 - 9}}{3}\right|$ .
Absorbiendo $-\ln 3$ en la constante: $\ln\left(x + \sqrt{x^2 - 9}\right) + C$ .

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 9}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 9}\right) + C$ , para $x > 3$ .

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Integral de √(x² − 1)/x con secante

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Avanzado
Método: Sustitución x = sec θ e identidad tan² θ = sec² θ − 1

Calcula $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx$ , para $x > 1$ .

Ver solución

$x = \sec\theta$ con $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ : $dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta$ y $\sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta$ .
$\int \frac{\tan\theta}{\sec\theta}\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta = \int\left(\sec^2\theta - 1\right)d\theta = \tan\theta - \theta$ .
Regreso: $\tan\theta = \sqrt{x^2 - 1}$ y $\theta = \operatorname{arcsec} x$ .
Resultado: $\sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arcsec} x + C$ . Comprobación: la derivada es $\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} - \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x^2 - 1}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$ .

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx = \sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arcsec} x + C$

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Integral de x³/√(1 − x²)

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Intermedio
Método: Sustitución x = sen θ y potencia impar del seno

Calcula $\displaystyle \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$ , para $|x| < 1$ .

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$x = \operatorname{sen}\theta$ , $dx = \cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{1 - x^2} = \cos\theta$ . La integral queda $\int \operatorname{sen}^3\theta\,d\theta$ .
Potencia impar: $\operatorname{sen}^3\theta = \left(1 - \cos^2\theta\right)\operatorname{sen}\theta$ . Con $u = \cos\theta$ : $-\int\left(1 - u^2\right)du = -\cos\theta + \frac{\cos^3\theta}{3}$ .
Regreso: $\cos\theta = \sqrt{1 - x^2}$ .
Resultado: $-\sqrt{1 - x^2} + \frac{\left(1 - x^2\right)^{3/2}}{3} + C$ , que también se escribe $-\frac{1}{3}\sqrt{1 - x^2}\left(x^2 + 2\right) + C$ .

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = -\frac{1}{3}\sqrt{1 - x^2}\left(x^2 + 2\right) + C$

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Área de un cuarto de círculo con sustitución trigonométrica

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Básico
Método: Sustitución x = sen θ con cambio de límites

Calcula $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx$ e interpreta el resultado.

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$x = \operatorname{sen}\theta$ , $dx = \cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{1 - x^2} = \cos\theta$ . Límites: $x = 0 \Rightarrow \theta = 0$ ; $x = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$ .
$\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\left(1 + \cos 2\theta\right)d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta + \frac{\operatorname{sen} 2\theta}{2}\right]_{0}^{\pi/2}$ .
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ .
Interpretación: $y = \sqrt{1 - x^2}$ es la semicircunferencia de radio $1$ , y el área bajo ella en $[0, 1]$ es un cuarto del círculo: $\frac{\pi \cdot 1^2}{4}$ .

Resultado final: $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx = \frac{\pi}{4}$ (área de un cuarto de círculo de radio $1$ ).

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Integral de x²/√(4 − x²)

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Avanzado
Método: Sustitución x = 2 sen θ y reducción de potencia

Calcula $\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$ , para $|x| < 2$ .

Ver solución

$x = 2\operatorname{sen}\theta$ , $dx = 2\cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$ .
$\int \frac{4\operatorname{sen}^2\theta \cdot 2\cos\theta}{2\cos\theta}\,d\theta = 4\int\operatorname{sen}^2\theta\,d\theta = 2\int\left(1 - \cos 2\theta\right)d\theta = 2\theta - \operatorname{sen} 2\theta$ .
Regreso: $\theta = \operatorname{arcsen}\frac{x}{2}$ y $\operatorname{sen} 2\theta = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2}$ .
Resultado: $2\operatorname{arcsen}\frac{x}{2} - \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C$ .

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx = 2\operatorname{arcsen}\frac{x}{2} - \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + C$

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Regreso a x con el triángulo de referencia

Tema: 6. Integrales › 6.6 Sustitución trigonométrica
Dificultad: Intermedio
Método: Sustitución x = 2 tan θ y triángulo de referencia

Calcula $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 4}}$ , para $x > 0$ .

Ver solución

$x = 2\tan\theta$ con $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ : $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$ y $\sqrt{x^2 + 4} = 2\sec\theta$ .
$\int \frac{2\sec^2\theta}{4\tan^2\theta \cdot 2\sec\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int \frac{\sec\theta}{\tan^2\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int \frac{\cos\theta}{\operatorname{sen}^2\theta}\,d\theta$ .
Con $u = \operatorname{sen}\theta$ : $\frac{1}{4}\int u^{-2}\,du = -\frac{1}{4u} = -\frac{1}{4\operatorname{sen}\theta}$ .
Triángulo: cateto opuesto $x$ , adyacente $2$ , hipotenusa $\sqrt{x^2 + 4}$ . Entonces $\operatorname{sen}\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$ , y el resultado es $-\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C$ .

Resultado final: $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 4}} = -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C$

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