2.3 Límites algebraicos con indeterminaciones

1. Indeterminación 0/0 por factorización

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.3 Límites algebraicos con indeterminaciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Factorización por diferencia de cuadrados

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 3$ obtenemos $\frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$, una indeterminación. Hay que simplificar antes de sustituir.
   2. Factorizamos el numerador como diferencia de cuadrados: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
   3. Como $x \to 3$ pero $x \neq 3$, el factor $x - 3$ no es cero y podemos simplificarlo: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$.
   4. Ahora la expresión es un polinomio continuo y sustituimos: $3 + 3 = 6$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$

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2. Indeterminación 0/0 con trinomios

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Factorización de trinomios

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 2$: numerador $4 - 10 + 6 = 0$ y denominador $4 - 4 = 0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$, así que $x - 2$ es factor de ambos.
   2. Factorizamos el numerador buscando dos números cuyo producto sea $6$ y cuya suma sea $-5$: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
   3. Factorizamos el denominador como diferencia de cuadrados: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
   4. Para $x \neq 2$ simplificamos el factor común: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}$.
   5. La expresión simplificada es continua en $x = 2$: $\frac{2 - 3}{2 + 2} = -\frac{1}{4}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = -\frac{1}{4}$

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3. Indeterminación 0/0 con suma de cubos

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Factorización por suma de cubos

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = -1$: numerador $-1 + 1 = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Usamos la suma de cubos $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ con $a = x$ y $b = 1$: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.
   3. Para $x \neq -1$ simplificamos: $\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1} = x^2 - x + 1$.
   4. El polinomio es continuo, así que sustituimos: $(-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1} = 3$

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4. Factor repetido hallado con Ruffini

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.3 Límites algebraicos con indeterminaciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Factorización por división sintética (Ruffini)

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 1$: numerador $1 - 3 + 2 = 0$ y denominador $1 - 1 - 1 + 1 = 0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Numerador: dividiendo $x^3 - 3x + 2$ entre $x - 1$ por Ruffini (coeficientes $1, 0, -3, 2$) se obtiene $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. Entonces $x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)$.
   3. Denominador: agrupamos, $x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)^2(x + 1)$.
   4. Para $x \neq 1$ simplificamos el factor común $(x - 1)^2$: $\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{x + 2}{x + 1}$.
   5. La expresión es continua en $x = 1$: $\frac{1 + 2}{1 + 1} = \frac{3}{2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1} = \frac{3}{2}$

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5. Indeterminación 0/0 con un binomio al cuadrado

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Desarrollo de producto notable

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^2 - 9}{h}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $h = 0$: numerador $9 - 9 = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Desarrollamos el binomio al cuadrado: $(3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2$.
   3. El numerador queda $9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2 = h(6 + h)$.
   4. Para $h \neq 0$ simplificamos: $\frac{h(6 + h)}{h} = 6 + h$.
   5. Sustituimos $h = 0$ en la expresión continua: $6 + 0 = 6$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = 6$

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6. Indeterminación con una fracción compleja

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.3 Límites algebraicos con indeterminaciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Simplificación de fracciones complejas

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 2$: numerador $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Restamos las fracciones del numerador con denominador común $2x$: $\frac{1}{x} - \frac{1}{2} = \frac{2 - x}{2x}$.
   3. La expresión queda $\frac{2 - x}{2x(x - 2)}$. Como $2 - x = -(x - 2)$, para $x \neq 2$: $\frac{-(x - 2)}{2x(x - 2)} = -\frac{1}{2x}$.
   4. Esta expresión es continua en $x = 2$ (pues $x \neq 0$ allí): $-\frac{1}{2(2)} = -\frac{1}{4}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2} = -\frac{1}{4}$

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7. Diferencia de cuadrados aplicada dos veces

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.3 Límites algebraicos con indeterminaciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Diferencia de cuadrados

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 3} \frac{x^4 - 81}{x - 3}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 3$: numerador $81 - 81 = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Primera diferencia de cuadrados: $x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$.
   3. Segunda diferencia de cuadrados: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Entonces $x^4 - 81 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$.
   4. Para $x \neq 3$ simplificamos: $\frac{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)}{x - 3} = (x + 3)(x^2 + 9)$.
   5. Sustituimos en el polinomio: $(3 + 3)(9 + 9) = 6 \cdot 18 = 108$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^4 - 81}{x - 3} = 108$

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8. Indeterminación 0/0 con un cociente notable

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Cociente notable

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 1$: numerador $1 - 1 = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Usamos el cociente notable $x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1)$ con $n = 5$: $x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.
   3. Comprobación: al multiplicar $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$, los términos intermedios se cancelan y queda $x^5 - 1$.
   4. Para $x \neq 1$ simplificamos: $\frac{x^5 - 1}{x - 1} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
   5. Sustituimos $x = 1$: $1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1} = 5$

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9. Fracción compleja con variable en el denominador

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.3 Límites algebraicos con indeterminaciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Simplificación de fracciones complejas

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{4}}{x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$: numerador $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Restamos las fracciones del numerador con denominador común $4(x + 4)$: $\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{4} = \frac{4 - (x + 4)}{4(x + 4)} = \frac{-x}{4(x + 4)}$.
   3. Dividimos entre $x$: $\frac{-x}{4x(x + 4)}$, y para $x \neq 0$ simplificamos: $-\frac{1}{4(x + 4)}$.
   4. La expresión es continua en $x = 0$: $-\frac{1}{4(0 + 4)} = -\frac{1}{16}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{4}}{x} = -\frac{1}{16}$

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10. Factores repetidos en numerador y denominador

    Tema

    2. Límites de funciones › 2.3 Límites algebraicos con indeterminaciones

    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Factorización por agrupación y trinomio cuadrado perfecto

    Calcula el siguiente límite:

    $$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}{x^4 - 8x^2 + 16}$$

    Ver solución

    1. Al sustituir $x = 2$: numerador $8 - 8 - 8 + 8 = 0$ y denominador $16 - 32 + 16 = 0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
    2. Numerador por agrupación: $x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = x^2(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x^2 - 4) = (x - 2)^2(x + 2)$.
    3. Denominador como trinomio cuadrado perfecto en $x^2$: $x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2 = (x - 2)^2(x + 2)^2$.
    4. Para $x \neq 2$ (y cerca de $2$, donde $x + 2 \neq 0$) simplificamos: $\frac{(x - 2)^2(x + 2)}{(x - 2)^2(x + 2)^2} = \frac{1}{x + 2}$.
    5. Sustituimos $x = 2$: $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}{x^4 - 8x^2 + 16} = \frac{1}{4}$

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