2.5 Límites trigonométricos

1. Límite trigonométrico notable sen x / x

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Límite fundamental sen u / u

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(5x)}{3x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ obtenemos $\frac{0}{0}$. Usaremos el límite notable $\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{sen} u}{u} = 1$.
   2. Para que aparezca $\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}$, multiplicamos y dividimos por $5$: $$\frac{\operatorname{sen}(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}$$
   3. Hacemos $u = 5x$. Cuando $x \to 0$, también $u \to 0$, así que $\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x} \to 1$.
   4. Por lo tanto el límite es $\frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(5x)}{3x} = \frac{5}{3}$

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2. Límite fundamental de tan x / x

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

   Dificultad

   Básico

   Método

   Límite fundamental sen x / x

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{0}{0}$. Expresamos la tangente en términos de seno y coseno: $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$.
   2. Reescribimos: $\frac{\tan x}{x} = \frac{\operatorname{sen} x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$.
   3. Usamos el límite fundamental $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1$.
   4. El coseno es continuo y $\cos 0 = 1$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1$.
   5. Por la propiedad del producto de límites: $1 \cdot 1 = 1$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

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3. Límite de (1 − cos x) / x²

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Conjugado trigonométrico e identidad pitagórica

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{0}{0}$. Multiplicamos numerador y denominador por $1 + \cos x$, que es positivo cerca de $0$.
   2. Por la identidad pitagórica, $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \operatorname{sen}^2 x$.
   3. La expresión queda $\frac{\operatorname{sen}^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x}$.
   4. Con $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1$ y la continuidad del coseno: $1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

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4. Límite de (1 − cos x) / x

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

   Dificultad

   Básico

   Método

   Conjugado trigonométrico e identidad pitagórica

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{0}{0}$. Multiplicamos numerador y denominador por $1 + \cos x$.
   2. Por la identidad pitagórica, $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = \operatorname{sen}^2 x$, así que la expresión queda $\frac{\operatorname{sen}^2 x}{x(1 + \cos x)}$.
   3. La separamos como $\frac{\operatorname{sen} x}{x} \cdot \frac{\operatorname{sen} x}{1 + \cos x}$.
   4. El primer factor tiende a $1$ (límite fundamental). El segundo es continuo en $0$ y tiende a $\frac{0}{1 + 1} = 0$.
   5. Por el producto de límites: $1 \cdot 0 = 0$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

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5. Tangente entre seno con argumentos distintos

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Límites fundamentales con ajuste de argumentos

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\operatorname{sen}(2x)}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{0}{0}$. Usaremos $\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$ y $\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{sen} u}{u} = 1$, para lo cual cada función debe dividirse entre su propio argumento.
   2. Para $x \neq 0$ reescribimos: $\frac{\tan(3x)}{\operatorname{sen}(2x)} = \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot \frac{2x}{\operatorname{sen}(2x)} \cdot \frac{3x}{2x}$.
   3. Con $u = 3x \to 0$: $\frac{\tan(3x)}{3x} \to 1$. Con $u = 2x \to 0$: $\frac{2x}{\operatorname{sen}(2x)} \to 1$.
   4. El último factor es constante: $\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$ para $x \neq 0$.
   5. Multiplicamos los límites: $1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\operatorname{sen}(2x)} = \frac{3}{2}$

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6. Límite con la identidad del ángulo doble

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Identidad del ángulo doble

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x \operatorname{sen} x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{0}{0}$. Usamos la identidad del ángulo doble $\cos(2x) = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x$, de donde $1 - \cos(2x) = 2\operatorname{sen}^2 x$.
   2. La expresión queda $\frac{2\operatorname{sen}^2 x}{x \operatorname{sen} x}$.
   3. Cerca de $0$ y con $x \neq 0$ se cumple $\operatorname{sen} x \neq 0$, así que simplificamos: $\frac{2\operatorname{sen} x}{x}$.
   4. Por el límite fundamental: $2 \cdot 1 = 2$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x \operatorname{sen} x} = 2$

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7. Cambio de variable cuando x tiende a π

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Cambio de variable e identidad de reducción

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \pi} \frac{\operatorname{sen} x}{x - \pi}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = \pi$ se obtiene $\frac{0}{0}$. El límite fundamental requiere que el argumento tienda a $0$, así que hacemos $t = x - \pi$. Cuando $x \to \pi$, $t \to 0$.
   2. Entonces $x = t + \pi$ y, por la fórmula del seno de una suma, $\operatorname{sen}(t + \pi) = \operatorname{sen} t \cos \pi + \cos t \operatorname{sen} \pi = -\operatorname{sen} t$.
   3. El límite se transforma en $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{-\operatorname{sen} t}{t}$.
   4. Por el límite fundamental: $-1$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\operatorname{sen} x}{x - \pi} = -1$

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8. Diferencia de seno y coseno cerca de π/4

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Identidad del seno de una diferencia y cambio de variable

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \pi/4} \frac{\operatorname{sen} x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = \frac{\pi}{4}$: $\operatorname{sen}\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4} = 0$, así que es $\frac{0}{0}$.
   2. Como $\cos\frac{\pi}{4} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$: $\operatorname{sen} x - \cos x = \sqrt{2}\left(\operatorname{sen} x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\operatorname{sen}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
   3. Hacemos $t = x - \frac{\pi}{4}$; cuando $x \to \frac{\pi}{4}$, $t \to 0$.
   4. El límite se transforma en $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{2}\operatorname{sen} t}{t} = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \pi/4} \frac{\operatorname{sen} x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}$

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9. Diferencia de cosenos con ángulos múltiples

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Transformación de diferencia de cosenos en producto

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - \cos x}{x^2}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$.
   2. Usamos la identidad $\cos A - \cos B = -2\operatorname{sen}\left(\frac{A + B}{2}\right)\operatorname{sen}\left(\frac{A - B}{2}\right)$ con $A = 3x$ y $B = x$: $\cos(3x) - \cos x = -2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen} x$.
   3. La expresión queda $\frac{-2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen} x}{x^2} = -2 \cdot \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} \cdot \frac{\operatorname{sen} x}{x}$.
   4. Ajustamos el argumento: $\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} = 2 \cdot \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} \to 2$, y $\frac{\operatorname{sen} x}{x} \to 1$.
   5. Multiplicamos: $-2 \cdot 2 \cdot 1 = -4$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - \cos x}{x^2} = -4$

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10. Límite de (tan x − sen x) / x³

    Tema

    2. Límites de funciones › 2.5 Límites trigonométricos

    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Factorización trigonométrica y límites fundamentales

    Calcula el siguiente límite:

    $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{x^3}$$

    Ver solución

    1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{0}{0}$. Factorizamos el numerador: $\tan x - \operatorname{sen} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} - \operatorname{sen} x = \frac{\operatorname{sen} x\,(1 - \cos x)}{\cos x}$.
    2. La expresión queda $\frac{\operatorname{sen} x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x}$.
    3. Primer factor: $\frac{\operatorname{sen} x}{x} \to 1$ (límite fundamental).
    4. Segundo factor: multiplicando por $1 + \cos x$, $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
    5. Tercer factor: $\frac{1}{\cos x} \to 1$ por continuidad. Multiplicamos: $1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{x^3} = \frac{1}{2}$

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